Solución al problema 148

Enunciado del problema 148

Llamemos $t$ al ángulo $\widehat{MOB}$. Como $OA=MN=NP$ y el triángulo $AMP$es rectángulo, $N$ está en la mitad de $MP$, luego $MN=AN$.

Se tiene que:

$$\widehat{APN}=t=\Rightarrow \widehat{PAN}=t=\Rightarrow \widehat{ANP}=180-2t=\Rightarrow \widehat{ANO}=2t$$

Como $$ AN=OA = ⇒ AON ˆ =2t y por tanto

$$$$ AOB ˆ = AON ˆ + NOB ˆ =2t+t=3t

Solución al problema 146

Enunciado del problema 146

La secuencia de ángulos que se van formando en función de $\alpha$ es la siguiente:

Como $n\alpha$, $n\alpha$ y $180-n\alpha$ son ángulos de un triángulo y dos de ellos son iguales, deberá ocurrir que $n\alpha$ debe ser menor de 90º. Como $\alpha =7º$ resulta:

$12\cdot 7=84$ y $13\cdot 7=91$, es decir que podemos llegar hasta $12\alpha$. Contando a partir de $A_1$, el número de segmentos es de 12.

Solución al problema 144

Enunciado del problema 144

$\widehat{DCB}=120º$. Por el teorema del coseno $D{B}^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot cos\widehat{DCB}=2\left(1+\frac{1}{2}\right)=3\Rightarrow DB=\sqrt{3}$. Entonces $PB=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow PC=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\Rightarrow MP=\frac{1}{2}$. Como $\widehat{MPB}=90º$, el triángulo $MPB$ es rectángulo, por tanto $\left[Área\left(MPB\right)\right]=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$.

El área del sectror circular es:

$\left[ÁreasectorMBA\right]=\frac{\pi \cdot 1^2}{6}=\frac{\pi }{6}$

Y el área pedida

$\left[Área\right]=\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\pi }{6}=\frac{4\pi +3\sqrt{3}}{24}$

Solución al problema 143

Enunciado del problema 143

Planteamiento:

Para cada calle vamos a calcular el segmento de la recta tangente que va desde la línea mas interior de la calle hasta el punto de tangencia al círculo mas interior de la pista (calle 1). La diferencia entre dicho punto de tangencia $\left(P_i\right)$ y el punto de tangencia de la calle 8 con el círculo más interior se supone recorrido por la circunferencia interior.

Sea $R$ el radio de la circunferenica interior, L el ancho de cada calle. Sean $A_i{P}_i=l_i$ el segmento de la tangente que va desde la circunferencia interior de la calle $i$ ,$\left(A_i\right)$hasta el punto de tangencia con la circunferencia interior $\left(P_i\right)$.

Como el triángulo $A_i{P}_{i}C$ es rectángulo, por ser $A_i{P}_i$ tangente a la circunferencia

$l_i^2=(R+(i-1)L{)}^2-R^2$, y en particular $l_8^2=(R+7L{)}^2-R^2$. Además $l_1=0$ porque el punto $A_1$ está en la circunferencia misma.

Si ${\alpha }_i$ es el ángulo que forma la recta $C{A}_i$ con $C{P}_i$:

${\alpha }_i=arccos\left(\frac{R}{R+\left(i-1\right)L}\right)$ y llamamos $\alpha ={\alpha }_8=arccos\left(\frac{R}{R+7L}\right)$

Si $d_i$ es la distancia entre $P_i$ y $P_8$ medida sobre la circunferencia, dicha distancia será

$d_i=R\left(\alpha -{\alpha }_i\right)$

y la distancia total recorrida por cada corredor de la calle $i$ será $l_i+d_i$

Veamos un caso particalar de aplicación de las fórmulas anteriores en una pista de 8 calles, donde $R=36.5m$ y la anchura de cada calle es $L=1.25$.

En tal caso $\alpha ={\alpha }_8=0.63236853$.

$R$	$L$	$i$	$l_i$	${\alpha }_i$	$\alpha -{\alpha }_i$	$d_i$	$l_i+d_i$
$36.5$	$1.25$	$1$	$0$	$0.632368533$	$0.632368533$	$23.08$	$23.08$
$36.5$	$1.25$	$2$	$9.63$	$0.25805796$	$0.374310577$	$13.66$	$23.30$
$36.5$	$1.25$	$3$	$13.74$	$0.35999826$	$0.272370271$	$9.94$	$23.68$
$36.5$	$1.25$	$4$	$16.97$	$0.43508956$	$0.197278975$	$7.20$	$24.17$
$36.5$	$1.25$	$5$	$19.75$	$0.49594782$	$0.136420718$	$4.98$	$24.73$
$36.5$	$1.25$	$6$	$22.26$	$0.54755264$	$0.084815889$	$3.10$	$25.35$
$36.5$	$1.25$	$7$	$24.57$	$0.59250309$	$0.039865441$	$1.46$	$26.03$
$36.5$	$1.25$	$8$	$26.75$	$0.63236853$	$0$	$0$	$26.75$

Solución al problema 137

Enunciado del problema 137

Sea $E$ el punto donde la bisectriz corta a la diagonal. $EB=2k;DE=5k$

En el triángulo $CBE$

$\frac{b}{sen\left(45+\alpha \right)}=\frac{2k}{sen45}\Rightarrow k=\frac{b\cdot sen45}{2sen\left(45+\alpha \right)}\left(1\right)$

En el triángulo $DCE$

$\frac{a}{sen\left(135-\alpha \right)}=\frac{5k}{sen45}\left(2\right)$

Sustituyendo (1) en (2) y $sen\left(135-\alpha \right)=sen\left(180-\left(135-\alpha \right)\right)=sen\left(45+\alpha \right)$

$\frac{a}{sen\left(135-\alpha \right)}=\frac{5b\cdot sen45}{2sen\left(45+\alpha \right)\cdot sen45}\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{5sen\left(135-\alpha \right)}{2sen\left(45+\alpha \right)}=\frac{5}{2}$

Si la bisectriz corta al lado AB en dos partes de tamaños $b-a$ y $a$, la relación buscada será:

$\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-1=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$

o, inviertiendo el orden $2:3$

Solución al problema 136

Enunciado del problema 136

Como en la fórmula de Herón $s=\frac{a+b+c}{2}$, sustituyendo en la conocida fórmula de Herón

$$\begin{array}{ccc}{▵}^2& =& \frac{a+b+c}{2}\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)=\end{array}$$

$$\frac{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{16}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow 16{▵}^2=\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)$$

Por tanto solo hay que demostrar que

$$\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)=-\left|\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ a& 0& c& b\\ b& c& 0& a\\ c& b& a& 0\end{array}\right|$$

En efecto

$$\left|\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ a& 0& c& b\\ b& c& 0& a\\ c& b& a& 0\end{array}\right|\underset{⟶}{F_4+F_3+F_2+F_1}\left|\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ a& 0& c& b\\ b& c& 0& a\\ a+b+c& a+b+c& a+b+c& a+b+c\end{array}\right|=$$

$$=\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ a& 0& c& b\\ b& c& 0& a\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right|\underset{⟶}{\begin{array}{c}{C}_4-C_1\\ C_3-C_1\\ C_2-C_1\end{array}}\left|\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ a& -a& c-a& b-a\\ b& c-b& -b& a-b\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right|=$$

$$=-\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ -a& c-a& b-a\\ c-b& -b& a-b\end{array}\right|\underset{⟶}{C_1+C_2-C_3}=$$

$$=-\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc}a+b-c& b& c\\ -a+c-a-b+a& c-a& b-a\\ c-b-b-a+b& -b& a-b\end{array}\right|=$$

$$=-\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc}a+b-c& b& c\\ a\left(a+b-c\right)& c-a& b-a\\ -\left(a+b-c\right)& -b& a-b\end{array}\right|=$$

=$-\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left|\begin{array}{ccc}1& b& c\\ -1& c-a& b-a\\ -1& -b& a-b\end{array}\right|=$

$$\underset{⟶}{\begin{array}{c}{F}_2+F_1\\ F_3+F_1\end{array}}-\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left|\begin{array}{ccc}1& b& c\\ 0& c-a+b& b-a+c\\ 0& 0& a-b+c\end{array}\right|=$$

$$=-\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left|\begin{array}{cc}b+c-a& b+c-a\\ 0& a+c-b\end{array}\right|=$$

$$=-\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)$$

Solución al problema 135

Enunciado del problema 135

Como $$ AB=6 y $FA=6$, resulta que los ángulos $\widehat{BFA}$ y $\widehat{FBA}$ son iguales. Como $\widehat{BAF}=30º$(es $90º-\widehat{EAD}$, con $\widehat{EAD}=60º$), resulta $\widehat{BFA}=\frac{180º-30º}{2}=75º$

Solución al problema 125.

Enunciado del problema 125

Aplicando el teorema del coseno tenemos la siguiente relación

$$k^2={\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2+{\left(b\sqrt{2}\right)}^2-2b\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a^2+3b^2-b\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}$$

Por lo tanto

$$k+b=a\Rightarrow \sqrt{a^2+3b^2-b\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}}+b=a\Rightarrow$$

$${\left(a-b\right)}^2=a^2+3b^2-b\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}\Rightarrow$$

$$a^2+b^2-2ab=a^2+b^2+2b^2-b\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}\Rightarrow 2b^2-b\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}+2ab=0$$

$$\Rightarrow 2b-\sqrt{6\left(a^2+b^2\right)}+2a=0\Rightarrow 6\left(a^2+b^2\right)=(2a+2b{)}^2\Rightarrow$$

$$\begin{array}{ccc}6a^2+6b^2& =& 4a^2+4b^2+8ab\Rightarrow {2a^2+2b^2=8ab\Rightarrow a}^2+b^2=4ab\Rightarrow \end{array}$$

$$\frac{a^2}{b^2}+1=4\cdot \frac{a}{b}$$

Haciendo $\frac{a}{b}=r$

$$r^2+1=4r\Rightarrow r^2-4r+1=0\Rightarrow r=\frac{4\pm \sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{12}}{2}=2\pm \sqrt{3}$$

Como $a>b$

$$r=\frac{a}{b}=2+\sqrt{3}$$

Solución al problema 109

Enunciado del problema 109

Para que se pueda formar un triángulo de lados a,b y c , la suma de dos de los lados tiene que ser mayor que el tercero. Además los lados han de ser distintos para ser escaleno. Tomemos parejas ordenadas de menor a mayor. El tercer lado será un número mayor que el mayor de la pareja, y menor que su suma, por tanto

2	3	4
2	4	5
2	5	6
2	6	7
3	4	5
3	4	6
3	5	6
3	5	7
4	5	6
4	5	7
4	6	7
5	6	7

Total 12

Solución página 94

Enunciado del problema 94

Llamando $\alpha =\widehat{TPS}$

$\widehat{PTO}=90º$

$\widehat{TQP}=180º-90º-\alpha$

$\widehat{TQS}=180º-\left(90º-\alpha \right)=90º+\alpha$

$\widehat{PQO}=\widehat{TQS}=90º+\alpha$

$\widehat{TOP}=90º-2\alpha$

$\widehat{TOR}=180º-\widehat{TOP}=180º-\left(90º-2\alpha \right)=90º+2\alpha$

$\widehat{RTO}=\frac{180º-\widehat{TOR}}{2}=\frac{180º-\left(90º+2\alpha \right)}{2}=\frac{90º-2\alpha }{2}=45º-\alpha$

$\widehat{TSP}=180º-\widehat{TQS}-\widehat{RTO}=180º-\left(90º+\alpha \right)-\left(45º-\alpha \right)=$

$180º-90º-\alpha -45º+\alpha =45º$

Solución al problema 76

Enunciado del problema 75

Tomemos los intervalos $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right),k\in Z,$

Para que las funciones $sen\left(x\right)$ y $\frac{x}{100}$ se corten, la función $f\left(x\right)=sen\left(x\right)-\frac{x}{100}$debe valer 0. Tomando valores en los extremos de dichos intervalos:

$$f\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{100}=1-\frac{\pi +4k\pi }{200}$$

Esta cantidad es positiva para

$$1-\frac{\pi +4k\pi }{200}>0\Rightarrow 1>\frac{\pi +4k\pi }{200}\Rightarrow \frac{200-\pi }{4k}>\pi \Rightarrow 15.66>\pi$$

Por tanto si $k=0,\dots ,15,f\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)>0$

Además

$$f\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{3\pi }{2}+2k\pi }{100}=-1-\frac{3\pi +4k\pi }{200}$$

que es negativo si $k>0$. Por el teorema de Bolzno, existe una raíz en el intervalo $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right),k=0,\dots ,15$

Si k=16, $\frac{\frac{\pi }{2}+2\cdot 16\pi }{100}=1.02$, y por tanto $sen\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{100}<0$, por tanto para $k>15$, $f\left(x\right)<0$, y a partir de $100$ no puede haber mas raíces

Tomemos ahora los intervalos $\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right)$, donde $k>0$

$$f\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{3\pi }{2}+2k\pi }{100}=-1-\frac{3\pi +4k\pi }{200}<0$$

$$f\left(\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{5\pi }{2}+2k\pi }{100}=1-\frac{5\pi +4k\pi }{200}$$

Este último valor es positivo cuando

$$1-\frac{5\pi +4k\pi }{200}>0\Rightarrow 1>\frac{5\pi +4k\pi }{200}\Rightarrow \frac{200-5\pi }{4\pi }>k\Rightarrow k<14.6$$

Por el teorema de Bolzano, hay una raíz en el intervalo $\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right),k=0,\dots ,14$

Hay $15+16$ raíces positivas. Habrá otras tantas negativas, porque la función es simétrica respecto del origen. Además $\left(0,0\right)$ también es solución.

En total $31+31+1=63$