Solución 1 al problema 142

Enunciado del problema 142

Primera solución

Haciendo unos cuantos términos de la sucesión tenemos:

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$a_n$	$1$	$2$	$3$	$1$	$5$	$-2$	$7$	$-4$	$9$
$n$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$\dots$
$a_n$	$-6$	$11$	$-8$	$13$	$-10$	$15$	$-16$	$17$	$\dots$

Se observa que el valor de la sucesión en los términos impares coincide con la sucesión. En cuanto a los pares, el valor de $$ a n es $n-4$ cambiado de signo, por tanto $a_{2010}=-\left(2010-4\right)=-2006$.

Solución al problema 135

Enunciado del problema 135

Como $$ AB=6 y $FA=6$, resulta que los ángulos $\widehat{BFA}$ y $\widehat{FBA}$ son iguales. Como $\widehat{BAF}=30º$(es $90º-\widehat{EAD}$, con $\widehat{EAD}=60º$), resulta $\widehat{BFA}=\frac{180º-30º}{2}=75º$

Solución al problema 106

Enunciado del problema 106

En el trapecio, si $DC=l$, como en el triángulo $CMB$ la hipotenusa es $BC=l$, y es isósceles, entonces $CM=\frac{l}{\sqrt{2}}$

$$AB=\frac{l}{\sqrt{2}}+l+\frac{l}{\sqrt{2}}=l\left(1+\frac{2}{\sqrt{2}}\right)=l\left(\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)=l\left(1+\sqrt{2}\right)$$

El área del trapecio es $\frac{B+b}{2}\cdot h$

$$A_{trapecio}=\frac{l\left(1+\sqrt{2}\right)+l}{2}\cdot \frac{l}{\sqrt{2}}=3\Rightarrow \frac{l^2\left(2+\sqrt{2}\right)}{2\sqrt{2}}=3\Rightarrow l^2=\frac{6\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=6\sqrt{2}-6$$

La apotema es $\frac{AB}{2}$, por tanto

$$A_{total}=8l\cdot l\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)\frac{1}{2}=\frac{8}{4}\left(1+\sqrt{2}\right)\left(6\sqrt{2}-6\right)=12\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)=12$$

Solución al problema 103

Enunciado del problema 103

Sea $t$ el tiempo que estoy corriendo.

El tiempo total de caminar y correr es $T=2+t$ (En dos horas caminé 8 Km)

El espacio recorrido será $E=8+8t$.

La velocidad media será

$$\frac{E}{T}=\frac{8+8t}{2+t}=5\Rightarrow 8+8t=10+5t\Rightarrow 3t=2\Rightarrow t=\frac{2}{3}$$

Por tanto $t=40$ minutos

Solución al problema 102

Enunciado del problema 102

Sea g el número de partidas ganadas, e el número de empatadas y p el número de paritidas perdidas

$$\begin{array}{ccc}g+0.5e& =& 25\\ g+e+p& =& 40\end{array}$$

$$e=\frac{25-g}{0.5}=50-2g\Rightarrow g+e+p=40\Rightarrow g+50-2g+p=40\Rightarrow g-p=50-40=10$$

Por tanto ganó 10 partidas mas que perdió

Solución al problema 99

Enunciado del problema 99

Como $33=3\cdot 11=3\cdot 11\cdot 1$ y $M+B+E+R\ge 0+1+2+3=6$, las letras $N$ y $U$ solo pueden ser $3$ y $1$.Como el valor del resto de las letras ha de ser diferente a ellas $M+B+E+R\ge 0+2+4+5=11$, que coincide con el otro factor, por tanto $M+B+E+R=11$, y las letras $M,B,E,R$ tienen que tomar los valores $0,2,4,5$ y ser distintas. Esto se puede hacer de $4!$ maneras y a su vez a $N$ y $U$ se pueden asignar valores de dos maneras diferentes. En total hay $2\cdot 4!=48$ posibilidades

Solución del problema 39

Enunciado del problema 39

Tenemos que

$$d\left(A,B\right)=2r\Rightarrow d\left(A,C\right)=2r\sqrt{2}$$

$$d\left(M,N\right)=2R=d\left(A,C\right)+2d\left(A,N\right)=2r\sqrt{2}+2r\Rightarrow R=r\left(\sqrt{2}+1\right)$$

$$r=\frac{R}{\sqrt{2}+1}=R\left(\sqrt{2}-1\right)\simeq 0.4142R$$

Área círculo grande $\pi R^2$

Área 4 círculos pequeños $4\pi r^2=\left(12-8\sqrt{2}\right)\pi R^2$

Área entre ambos $\pi R^2\left(8\sqrt{2}-11\right)\simeq 0.3137R^2$

Solución del problema 5

Enunciado del problema 5

Como el criterio de divisibilidad por 9 es que la suma de sus cifras sea múltiplo de 9, ya que tenemos 8 cifras, faltará una.

Cifra que falta	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Suma de las demás	44	43	42	41	40	39	38	37	36

Por lo tanto solamente cuando están las cifras del 1 al 8, el número es divisible por 9. Hay por tanto $8!$ números o sea $\frac{z}{9}$ que sean divisibles por 9