Solución al problema 106

Enunciado del problema 106

En el trapecio, si $DC=l$, como en el triángulo $CMB$ la hipotenusa es $BC=l$, y es isósceles, entonces $CM=\frac{l}{\sqrt{2}}$

$$AB=\frac{l}{\sqrt{2}}+l+\frac{l}{\sqrt{2}}=l\left(1+\frac{2}{\sqrt{2}}\right)=l\left(\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)=l\left(1+\sqrt{2}\right)$$

El área del trapecio es $\frac{B+b}{2}\cdot h$

$$A_{trapecio}=\frac{l\left(1+\sqrt{2}\right)+l}{2}\cdot \frac{l}{\sqrt{2}}=3\Rightarrow \frac{l^2\left(2+\sqrt{2}\right)}{2\sqrt{2}}=3\Rightarrow l^2=\frac{6\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=6\sqrt{2}-6$$

La apotema es $\frac{AB}{2}$, por tanto

$$A_{total}=8l\cdot l\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)\frac{1}{2}=\frac{8}{4}\left(1+\sqrt{2}\right)\left(6\sqrt{2}-6\right)=12\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)=12$$