Problema 132. Olimpiada matemática

Sobre el anillo de los números enteros se pide descomponer el polinomio $P\left(x\right)=x^5-209x+56$ en producto de dos factores, sabiendo que se anula para dos valores $x_1,x_2$ recíprocos entre sí.

Solución al problema 132

Problema 130. Olimpiada matemática. fase local

Dada la recta $x=a$, un punto $M\left(x_{1,}{y}_1\right)$, se proyecta ortogonalmente sobre $x=a$ en $D$ y se traza $OM$ que corta a $x=a$ en $B$. Una paralela a $OX$ por $B$ corta a $OD$ en $N$. Halla la ecuación del lugar geométrico de $N$ cuando $M$ describe la circunferenica $(x-b{)}^2+y^2=b^2$

Solución al problema 130

Problema 119. Olimpiadas matemáticas 2000

Encuentra un número N que cumpla las siguientes condiciones

a) $E\left[\frac{N}{3}\right]$ tiene sus tres cifras iguales.

b) $E\left[\frac{N}{3}\right]$ es la suma de números naturales consecutivos comenzando en 1, es decir, existe un natural n tal que $E\left[\frac{N}{3}\right]=1+2+\dots +\left(n-1\right)+n$.

Solución al problema 119

Problema 118. Olimpiadas matemáticas 2000

Sean los polinomios $P\left(x\right)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+1$ y $Q\left(x\right)=x^4+c{x}^3+b{x}^2+ax+1$. Halla las condiciones que deben cumplir los parámetros $a,b$y $c$ ($a$ distinto de $c$), para que $P\left(x\right)$ y $Q\left(x\right)$ tengan dos raíces comunes y resuelve en ese caso las ecuaciones $P\left(x\right)=0$ y $Q\left(x\right)=0$.

Solución al problema 118

Problema 117. Olimpiadas matemáticas

Determina la función $f:N—\to N$(siendo $N=\left\{1,2,3,\dots \right\}$el conjunto de los números naturles que cumple, para cualesquiera $s,n\in N$, las siguientes condiciones:

$f\left(1\right)=f\left(2^s\right)=1$ y si $n<2^s$, entonces $f\left(2^s+n\right)=f\left(n\right)+1$

Calcula el valor máximo de $f\left(n\right)$ cuando $n\le 2001$

Halla el menor número natural $n$ tal que $f\left(n\right)=2001$

Solución al problema 117

Problema 111. Olimpiadas matemáticas

Halla una progresión aritmética tal que la suma de sus n primeros términos valga $n^2$, para todo $n$

Solución al problema 111

Problema 91. Olimpiadas matemáticas

En un sistema cartesiano rectangular se dan dos puntos $A\left(6,0\right)$ y $B\left(-3,0\right)$. Por A se traza una recta variable y sobre ella se toma un punto C a distancia 6 de A. Por B se traza una recta paralela a la anterior y sobre ella se toma D, distante 3 unidades de B y en el mismo sentido. Halla el lugar geométrico del punto P de intersección de AD con BC

Solución del problema 91

Problema 90. Olimpiadas matemáticas

Se considera un polinomio de grado 100, con coeficientes enteros, todos ellos distintos entre sí, cuyos valores absolutos son menores o iguales que 50. Determina si P(x) es divisible por x-1

Solución al problema 90

Problema 89. Olimpiadas matemáticas

Halla tres números naturales en progresión aritmética de diferencia 2, tales que la suma de sus cuadrados sea un número de 4 cifras iguales

Solución al problema 89

Problema 87. Olimpiadas matemáticas

Halla una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean los cubos de

$$a{x}^2+bx+c=0$$

Solución al problema 87

Problema 86. Olimpiadas matemáticas

En el plano complejo $2+i$ es el centro de un cuadrado, y $5+5i$ uno de sus vértices. Halla los otros.

Solución al problema 86

Problema 85. Olimpiadas matemáticas

Dada la sucesión

$a_1=\sqrt{k}$; $a_2=\sqrt{k+\sqrt{k}}$; $a_3=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k}}}$, $\dots$

Demuestra que es convergente y halla el límite

Solución del problema 85

Problema 84. Olimpiadas matemáticas

Dada la siguiente configuración de los números natuales

Solución al problema 84

$1$
$2$	$3$	$4$
$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

halla la suma de los números situados en la n-ésima fila

Problema 83. Olimpiadas matemáticas

En la isla de Camelot viven 13 camaleones rojos, 15 verdes y 17 amarillos. Cuando dos de distinto color se encuentran, cambian simutáneamente al tercer color. ¿Podría darse la situación en la que todos tengan el mismo color?

Solución al problema 83

Problema 82. Olimpiadas matemáticas

Un número entero se escribe con tres cifras distintas. Obtenemos tres números de dos difras cada uno suprimiento la cifra de las centenas, la de las decenas y la de las unidades. La suma de estos tres números es la mitad del número de tres cifras incial.Halla el número inicial.

Solución al problema 82

Problema 81. Olimpiadas matemáticas

Demostrar que en el desarrollo de la siguiente expresión no existen términos de grado impar

$$\left(1-x+x^2-x^3+\dots -x^{99}+x^{100}\right)\left(1+x+x^2+x^3+\dots +x^{99}+x^{100}\right)$$

Solución del problema 81

Problema 80. Olimpiadas matemáticas

En el rectángulo de la figura, cuya base es doble que la altura, se construyen los dos cuadrantes de circunferencia mostrados y las circunferencias tangentes a ambos cuadrantes y a la anterior (excepto la primera que es tangente al lado superior del rectángulo). Si numeramos las circunferencias en orden de tamaño decreciente, se pide encontrar la expresión para el diámetro $D_n$ de la n-ésima circunferencia. Como aplicación demostrar que

$$\underset{n\to \infty }{lim}\left(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{n\cdot \left(n+1\right)}\right)=1$$

Solución 1 del problema 80
Solución 2 del problema 80

Problema 79. Olimpiadas matemáticas

Demuestra que la suma de los cubos de tres números naturales consecutivos es múltiplo de 9

Solución del problema 79

Problema 78. Olimpiadas matemáticas

Determina a y b para que la ecuación $x^3+a{x}^2+bx-0.125=0$tenga sus raíces en progresión geométrica y halla sus términos

Solución al problema 78

Problema 77. Olimpiadas matemáticas

Resuelve en los números naturales la ecuación $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{16}=1,4375$

Solución al problema 77