Solución del problema 55

Enunciado del problema 55

Supongamos que el reloj funciona correctaente

Sea $\alpha$ el ángulo que forma la aguja de las horas con las 12h, en el sentido horario. Sea $\beta$ el ángulo que forma la aguja de los minutos con las 12h, en sentido horario y sea t el tiempo, en minutos, trancurrido desde las 12h.

Obviamente

$\begin{array}{c}\alpha =\frac{t}{2}\\ \beta =6t\end{array}$

En este caso, para que se superpongan, debe cumplirse que

$$\beta -\alpha =360\Rightarrow \frac{t}{2}+360=6t\Rightarrow t+720=12t\Rightarrow t=\frac{720}{11}\simeq 65.45$$

Por tanto un reloj andando correctamente tarda 65.45 minutos en superponer sus agujas. Como en nuestro caso lo hace cada 62 minutos, nuestro reloj atrasa aproximadamente 3.45 minutos cada 65.45 minutos, por tanto la proporción es $\frac{3.45}{65.45}\cdot 100\simeq \mathrm{5.28\%}$

Solución del problema 54

Enunciado del problema 54

Sea $\alpha$ el ángulo que forma la aguja de las horas con las 12h, en el sentido horario. Sea $\beta$ el ángulo que forma la aguja de los minutos con las 12h, en sentido horario y sea t el tiempo, en minutos, trancurrido desde las 12h.

Obviamente

$\begin{array}{c}\alpha =\frac{t}{2}\\ \beta =6t\end{array}$

En este casoo, como el ángulo con las 12h de ambas agujas debe ser el mismo, salvo una hora completa, $\alpha +\beta =360k$, donde k es un número entero. Sustituyendo en función de t

$$\frac{t}{2}+6t=360k\Rightarrow t=\frac{720k}{13}$$

Dando valores a k

$k$	$t$	$h:m:s$	$k$	$t$	$h:m:s$
0	0	0	8	443.08	7:23:05
1	55.38	0:55:23	9	498.46	8:18:28
2	110.77	1:50:46	10	553.85	9:13:51
3	166.15	2:46:09	11	609.23	10:09:14
4	221.54	3:41:32	12	664.62	11:04:37
5	276.92	4:36:55	13	720	12:00:00
6	332.31	5:32:18	14	775.38	12:55:23
7	387.69	6:27:42	15	830.76	13:50:46

Como salió alrededor de las 10h, la hora de salida fué las 10:09:14. La hora de llegada fué después de las 13h, por tanto las 13:50:46