Solución del problema 59

Enunciado del problema 59

En el triángulo

$$\begin{array}{ccc}{r}^2+r^2& =& {\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}-r\right)}^2\\ r\sqrt{2}& =& \frac{a\sqrt{2}}{2}-r\\ r\left(1+\sqrt{2}\right)& =& \frac{a\sqrt{2}}{2}\\ r& =& \frac{a\sqrt{2}}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}\\ r& =& \frac{a\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)}{2}\\ r& =& a\frac{2-\sqrt{2}}{2}\end{array}$$

Solución problema 8.

Enunciado problema 8

Los ángulos deben están en progresión aritmética $a,2a,3a,\mathrm{...},na$.

Se debe cumplir además que la suma de todos los ángulos interiores sea $180\left(n-2\right)$, por tanto:

$$S_n=\frac{\left(a+an\right)n}{2}=180\left(n-2\right)$$

$$\frac{a\left(n+1\right)n}{2}=180\left(n-2\right)$$

$$a=\frac{360\left(n-2\right)}{n\left(n+1\right)}$$

El mayor ángulo (na) no debe sobrepasar los 180º, porque sino no sería convexo. Es decir:

$$na=n\frac{360\left(n-2\right)}{n\left(n+1\right)}<180$$

$$\frac{360\left(n-2\right)}{n+1}<180$$

$$n<\frac{900}{180}=5$$

Como $n\ge 3$, solo es posible para $n=3yn=4$

Como se puede comprobar para $n=5$, $a$ vale $36$, y los ángulos serían $36,72,108,144,180$, lo que no es posible.

La solución es por tanto que hay 2 valores de n