Solución al problema 103

Enunciado del problema 103

Sea $t$ el tiempo que estoy corriendo.

El tiempo total de caminar y correr es $T=2+t$ (En dos horas caminé 8 Km)

El espacio recorrido será $E=8+8t$.

La velocidad media será

$$\frac{E}{T}=\frac{8+8t}{2+t}=5\Rightarrow 8+8t=10+5t\Rightarrow 3t=2\Rightarrow t=\frac{2}{3}$$

Por tanto $t=40$ minutos

Solución al problema 102

Enunciado del problema 102

Sea g el número de partidas ganadas, e el número de empatadas y p el número de paritidas perdidas

$$\begin{array}{ccc}g+0.5e& =& 25\\ g+e+p& =& 40\end{array}$$

$$e=\frac{25-g}{0.5}=50-2g\Rightarrow g+e+p=40\Rightarrow g+50-2g+p=40\Rightarrow g-p=50-40=10$$

Por tanto ganó 10 partidas mas que perdió

Solución al problema 101

Enunciado del problema 101

Si p es el precio del sombrero, la cantidad de dinero que tiene cada una es

Susana $\frac{2p}{3}$

Soraya $\frac{3p}{4}$

Rosa $\frac{4p}{5}$

Por tanto, en total

$$\frac{2p}{3}+\frac{3p}{4}+\frac{4p}{5}=3\left(p-9,40\right)\Rightarrow p=36€$$

Solución al problema 87

Enunciado del problema 87

Sean $x_1,x_2$ las raíces de la ecuación

$$\begin{array}{ccc}{x}_1+x_2& =& -\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Obtemos expresiones para $x_1^3+x_2^3$ y $x_1^3{x}_2^3$

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2{)}^3-3x_1^2{x}_2-3x_1{x}_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2)=$$

$${\left(-\frac{b}{a}\right)}^3-3\cdot \frac{c}{a}\cdot \left(-\frac{b}{a}\right)=\frac{-b^3}{a^3}+\frac{3bc}{a^2}=\frac{-b^3+3abc}{a^3}$$

$$x_1^3{x}_2^3=(x_1{x}_2{)}^3={\left(\frac{c}{a}\right)}^3=\frac{c^3}{a^3}$$

Y por tanto la ecuación será

$$\begin{array}{ccc}{x}^2-\frac{-b^3+3abc}{a^3}x+\frac{c^3}{a^3}& =& 0\\ a^3{x}^2+\left(b^2-3abc\right)x+c^3& =& 0\end{array}$$

Solución al problema 83

Enunciado del problema 83

Supongamos que a es el número de veces que se encuentran uno rojo y uno verde, para convertirse ambos en amarillo. Cada vez que ocurre esto, la población de los rojos y de los verdes disminuye en uno, y la de los amarillos aumenta en dos. Por tanto si las poblaciones R(13), V(15) y A(17), después de a contactos entre rojos y verdes será R(13-a), V(15-a), A(17+2a).

Si llamamos b al número de contactos entre rojos y amarillos para convertirse en verdes, y c al número de contactos entre verdes y amarillos para convertirse en rojos, tenemos;

Nº de contactos	Rojos	Verdes	Amarillos
$0$	$13$	$15$	$17$
$a$	$13-a$	$15-a$	$17+2a$
$ayb$	$13-a-b$	$15-a+2b$	$17+2a-b$
$abyc$	$13-a-b+2c$	$15-a+2b-c$	$17+2a-b-c$

Estudiaremos tres posibilidades

a) Todos se convierten en amarillos

$$\begin{array}{ccc}13-a-b+2c& =& 0\\ 15-a+2b-c& =& 0\\ 17+2a-b-c& =& 45\end{array}$$

Resolviendo esta ecuación

$$\begin{array}{ccc}a+b-2c& =& 13\\ -a+2b-c& =& -15\\ 3b-3c& =& -2\\ 3\left(b-c\right)& =& -2\end{array}$$

Lo que es imposible. Por tanto nunca podrá una población solo de amarillos.

b) Todos se convierten en verdes

$$\begin{array}{ccc}13-a-b+2c& =& 0\\ 15-a+2b-c& =& 45\\ 17+2a-b-c& =& 0\end{array}$$

Resolviendo esta ecuación

$$\begin{array}{ccc}-a-b+2c& =& -13\\ a-2b+c& =& -30\\ -3b+3c& =& -43\\ 3\left(c-b\right)& =& -43\end{array}$$

Como 43 no es mútimplo de 3, es imposible.

c) Todos se convierten en rojos

$$\begin{array}{ccc}13-a-b+2c& =& 45\\ 15-a+2b-c& =& 0\\ 17-2a-b-c& =& 0\\ -a-b+2c& =& 32\\ -3b+3c& =& 47\end{array}$$

Como 47 no es múltiplo de 3, tampoco es posible.

La situación no se puede dar.

Solución al problema 78

Enunciado del problema 78

Sean las raíces $\frac{m}{k},m,km$

Como

$$\frac{m}{k}\cdot m\cdot km=0.125\Rightarrow m^3=0.125\Rightarrow m=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$

Las raíces son entonces $\frac{1}{2k},\frac{1}{2},\frac{k}{2}$

Además

$$\frac{1}{2k}+\frac{1}{2}+\frac{k}{2}=-a\Rightarrow \frac{1+k+k^2}{2k}=-a\Rightarrow 1+k+k^2=-2ak$$

$$\frac{1}{2k}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2k}\cdot \frac{k}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{k}{2}=b\Rightarrow 1+k+k^2=4bk$$

Igualando

$$-2ak=4bk\Rightarrow 2b=-a$$

Para hallar k en función de los coeficientes

$$1+k+k^2=-2ak\Rightarrow k^2+k\left(2a+1\right)+1=0\Rightarrow k=\frac{-2a-1\pm \sqrt{(2a+1{)}^2-4}}{2}$$

La raíces serán las soluciones de

$$x^2+\left(-2b+0.5\right)x+0.25=0=\Rightarrow x=\frac{2b-0.5\pm \sqrt{(-2b+0.5{)}^2-1}}{2}$$

Solución al problema 76

Enunciado del problema 75

Tomemos los intervalos $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right),k\in Z,$

Para que las funciones $sen\left(x\right)$ y $\frac{x}{100}$ se corten, la función $f\left(x\right)=sen\left(x\right)-\frac{x}{100}$debe valer 0. Tomando valores en los extremos de dichos intervalos:

$$f\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{100}=1-\frac{\pi +4k\pi }{200}$$

Esta cantidad es positiva para

$$1-\frac{\pi +4k\pi }{200}>0\Rightarrow 1>\frac{\pi +4k\pi }{200}\Rightarrow \frac{200-\pi }{4k}>\pi \Rightarrow 15.66>\pi$$

Por tanto si $k=0,\dots ,15,f\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)>0$

Además

$$f\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{3\pi }{2}+2k\pi }{100}=-1-\frac{3\pi +4k\pi }{200}$$

que es negativo si $k>0$. Por el teorema de Bolzno, existe una raíz en el intervalo $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right),k=0,\dots ,15$

Si k=16, $\frac{\frac{\pi }{2}+2\cdot 16\pi }{100}=1.02$, y por tanto $sen\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{100}<0$, por tanto para $k>15$, $f\left(x\right)<0$, y a partir de $100$ no puede haber mas raíces

Tomemos ahora los intervalos $\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right)$, donde $k>0$

$$f\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{3\pi }{2}+2k\pi }{100}=-1-\frac{3\pi +4k\pi }{200}<0$$

$$f\left(\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{5\pi }{2}+2k\pi }{100}=1-\frac{5\pi +4k\pi }{200}$$

Este último valor es positivo cuando

$$1-\frac{5\pi +4k\pi }{200}>0\Rightarrow 1>\frac{5\pi +4k\pi }{200}\Rightarrow \frac{200-5\pi }{4\pi }>k\Rightarrow k<14.6$$

Por el teorema de Bolzano, hay una raíz en el intervalo $\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right),k=0,\dots ,14$

Hay $15+16$ raíces positivas. Habrá otras tantas negativas, porque la función es simétrica respecto del origen. Además $\left(0,0\right)$ también es solución.

En total $31+31+1=63$

Solución del problema 65

Enunciado del problema 65

El número de divisores es $\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)$

Al dividir por a queda $a^{x-1}{b}^y{c}^z$, que tiene $x\left(y+1\right)\left(z+1\right)$ divisores

Al dividir por a queda $a^x{b}^{y-1}{c}^z$, que tiene $\left(x+1\right)y\left(z+1\right)$ divisores

Al dividir por a queda $a^x{b}^y{c}^{z-1}$, que tiene $\left(x+1\right)\left(y+1\right)z$ divisores

Por tanto $\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)-x\left(y+1\right)\left(z+1\right)=72$, es decir

$$\begin{array}{ccc}\left(y+1\right)\left(z+1\right)& =& 72\end{array}$$

Igualmente

$$\begin{array}{ccc}\left(z+1\right)\left(x+1\right)& =& 48\\ \left(y+1\right)\left(x+1\right)& =& 54\end{array}$$

Resolviendo el sistema

$$\begin{array}{ccc}y+1& =& \frac{72}{z+1}\\ x+1& =& \frac{48}{z+1}\end{array}$$

y sustituyendo en la tercera ecuación

$$\frac{72}{z+1}\cdot \frac{48}{z+1}=54\Rightarrow z=7;y=8;x=5$$

y el número será

$$n=a^5{b}^8{c}^7$$

Solución del problema 29

Enunciado del problema 29

Operando y haciendo $t=2^{co{s}^{2}x}$

$$\begin{array}{ccc}{2}^{se{n}^{2}x}+2^{co{s}^{2}x}& =& 2\sqrt{2}\\ 2^{1-co{s}^{2}x}+2^{co{s}^{2}x}& =& 2\sqrt{2}\\ \frac{2}{2^{co{s}^{2}x}}+2^{co{s}^{2}x}& =& 2\sqrt{2}\\ \frac{2}{t}+t& =& 2\sqrt{2}\\ t^2-2\sqrt{2}t+2& =& 0\Rightarrow t=\sqrt{2}\end{array}$$

Si $t=\sqrt{2}$

$$2^{co{s}^{2}x}=2^{\frac{1}{2}}\Rightarrow co{s}^{2}x=\frac{1}{2}\Rightarrow cosx=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=45º+45ºk,k\in Z$$

Haciendo $45+45k=2013\Rightarrow 45k=1968\Rightarrow k=43.7$

Luego las soluciones por defecto y por exceso serán para $k=44$ y $k=43$

$$\begin{array}{ccc}45+45\cdot 44& =& 2025\\ 45+45\cdot 43& =& 1980\end{array}$$

Solución problema 3 (generalización)

Enunciado problema 3

Generalización

En general un paralelepípedo de tamaño m x n x p tiene área lateral: m x n x 2+ m x p x 2 + n x p x 2. Además si las dimensiones son m, n y p, y la ecuación de tercer grado que tiene como soluciones esos tres valores es

$x^3+a{x}^2+bx+c=0$

Entonces la ecuación $x^3+4a{x}^2+2bx+c=0$ tiene como soluciones respectivamente, la suma de los lados, la suma de las áreas de todas las caras y el volumen