Solución al problema 87

Enunciado del problema 87

Sean $x_1,x_2$ las raíces de la ecuación

$$\begin{array}{ccc}{x}_1+x_2& =& -\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Obtemos expresiones para $x_1^3+x_2^3$ y $x_1^3{x}_2^3$

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2{)}^3-3x_1^2{x}_2-3x_1{x}_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2)=$$

$${\left(-\frac{b}{a}\right)}^3-3\cdot \frac{c}{a}\cdot \left(-\frac{b}{a}\right)=\frac{-b^3}{a^3}+\frac{3bc}{a^2}=\frac{-b^3+3abc}{a^3}$$

$$x_1^3{x}_2^3=(x_1{x}_2{)}^3={\left(\frac{c}{a}\right)}^3=\frac{c^3}{a^3}$$

Y por tanto la ecuación será

$$\begin{array}{ccc}{x}^2-\frac{-b^3+3abc}{a^3}x+\frac{c^3}{a^3}& =& 0\\ a^3{x}^2+\left(b^2-3abc\right)x+c^3& =& 0\end{array}$$