Solución 3 al problema 142

Enunciado del problema 142

Tenemos que $a_{n+3}=a_n+a_{n+1}-a_{n+2}\Rightarrow a_{n+3}+a_{n+2}-a_{n+1}-a_n=0$

Sustituyendo por el operador $\nabla$:

$\left({\nabla }^3+{\nabla }^2-\nabla -1\right)a_n=0$

Resolviendo la ecuación asociada

$x^3+x^2-x-x=\left(x-1\right)\cdot (x+1{)}^2$

Por la teoría de las diferencias finitas, si ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ son las raíces de la ecuación asociada, el término general $a_n$ es de la forma:

$a_n=A_1{\alpha }_1^n+A_2{\alpha }_2^n+\dots +A_n{\alpha }_n^n$, donde se ha de poner $n{A}_i$ si alguna de las ${\alpha }_i$ es doble.

En este caso

$a_n=A{1}^n+B(-1{)}^n+Cn(-1{)}^n$

Como sabemos que $a_1=1;a_2=2$ y $a_3=3$, resulta

$\{\begin{array}{c}1=A-B-C\\ 2=A+B+2C\\ 3=A-B-3C\end{array}.$

que tiene por soluciones $A=2;B=2$ y $C=-1$

Por tanto $a_n=2+(-1{)}^n(2-n)$

Si $n$ es impar $a_n=2-\left(2-n\right)=n$, y si $n$ es par $a_n=2+\left(2-n\right)=4-n$

En conclusión $a_{2010}=2+\left(2-2010\right)=-2006$

Solución al problema 87

Enunciado del problema 87

Sean $x_1,x_2$ las raíces de la ecuación

$$\begin{array}{ccc}{x}_1+x_2& =& -\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Obtemos expresiones para $x_1^3+x_2^3$ y $x_1^3{x}_2^3$

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2{)}^3-3x_1^2{x}_2-3x_1{x}_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2)=$$

$${\left(-\frac{b}{a}\right)}^3-3\cdot \frac{c}{a}\cdot \left(-\frac{b}{a}\right)=\frac{-b^3}{a^3}+\frac{3bc}{a^2}=\frac{-b^3+3abc}{a^3}$$

$$x_1^3{x}_2^3=(x_1{x}_2{)}^3={\left(\frac{c}{a}\right)}^3=\frac{c^3}{a^3}$$

Y por tanto la ecuación será

$$\begin{array}{ccc}{x}^2-\frac{-b^3+3abc}{a^3}x+\frac{c^3}{a^3}& =& 0\\ a^3{x}^2+\left(b^2-3abc\right)x+c^3& =& 0\end{array}$$

Solución al problema 85

Enunciado del problema 85

Sea

$$\underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=a$$

Entonces

$$\begin{array}{ccc}a& =& \sqrt{k+a}\\ a^2& =& k+a\\ a^2-a-k& =& 0\\ a& =& \frac{1\pm \sqrt{1+4k}}{2}\end{array}$$

Como $k>0$, $\sqrt{1+4k}>1$, luego solo es posible la solución positiva puesto que todos los términos son positivos y $a_n>a_{n-1}$

$$a=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}$$

Solución al problema 84

Enunciado del problema 84

La suma de cada fila es la siguiente:

Fila n	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Suma	$1$	$9$	$35$	$91$	$189$

Se trata de obtener los números de la suma en función de n

Fila n	$1$	$9$	$35$	$91$	$189$
$▵n$	$8$	$26$	$56$	$98$
${▵}^{2}n$	$18$	$30$	$42$
${▵}^{3}n$	$12$	$12$

El término general en función de n, el número de fila será

$$1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{1}\right)\cdot 8+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2}\right)\cdot 18+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{3}\right)\cdot 12=2n^3-3n^2+3n-1$$

Solución problema 69

Enunciado del problema 69

Calculemos cuanto vale $a^4$. Tomemos solo la terminación de a, según las cifras 0,...,9.

Anotamos la última cifra de cada potencia

$a$	$a^2$	$a^3$	$a^4$
1	1	1	1
2	4	8	6
3	9	7	1
4	6	4	6
5	5	5	5
6	6	6	6
7	9	3	1
8	4	2	6
9	1	9	1
0	0	0	0

La potencia $a^4$,es de tipo $5k$ (terminará en 0) o $5k+1$(terminará en 1)

En base 5, un número termina en 4 ceros cuando es del tipo $m0000=0+0\cdot 5+0\cdot 5^2+0\cdot 5^3+m\cdot 5^4=625k$, es decir los múltiplos de 625

a) Supongamos que termina en 0

Si $a=10k\Rightarrow a^4=10000k^4$. Termina en 4 ceros, y por tanto es múltiplo de 625

Si $a=10k+5$

$$a^4=(10k+5{)}^4=10000k^4+4(10k{)}^3\cdot 5+6(10k{)}^2\cdot 5^2+6\cdot 10k\cdot 5^3+5^4=$$

$$=10000k^4+20000k^3+15000k^2+7500k+625$$

Esta última expresión es múltiplo de 625

Por tanto en ambos casos, en base 5 se escribe con 4 ceros.

Es decir que cualquier número natural elevado a la cuarta, en base cinco temina en 1, o en cuatro ceros.