Problema 147. CM2010627

Calcula el valor de la expresión

$\frac{\left(2+3\right)\left(2^2+3^2\right)\left(2^4+3^4\right)\left(2^8+3^8\right)\dots \left(2^{1024}+3^{1024}\right)\left(2^{2048}+3^{2048}\right)+2^{4096}}{3^{2048}}$

Problema 146. CM2010525

En la figura $$ α =7 º y las medidas de los segmentos $O{A}_1,A_1{A}_2,A_2{A}_3,\dots$ son todas iguales. ¿Cuál es el mayor número de segmentos distintos que pueden dibujarse en esas condiciones a partir del punto $A_1$?

Solución al problema 146

Problema 145. CM2010429

¿Cuántas cifras tiene $2010{}^{10}?$

Solución al problema 145

Problema 144. Canguro matemático 2010430

$ABCDEF$ es un hexágono regular con centro M. Los lados son de longitud 1. ¿Cuál es el área de la zona sombreada?

Solución al problema 144

Problema 142. CM2010526

En la sucesión$$ 1,2,3,0,5,-2,7, … se tiene $a_1=1;a_2=2;a_3=3$ y para $n\ge 4$ vale $a_n=a_{n-3}+a_{n-2}-a_{n-1}$. ¿Cuál es el término $2010º$ de la sucesión?

Solución 1 al problema 142

Solución 2 al problema 142

Solución 3 al problema 142

Problema 141. CM2010421

¿En cuántos ceros termina el producto $$ 1990 × 1992 × 1994 × … × 2008 × 2010 ?

Solución al problema 141

Problema 140. CM2010420

El profesor piensa un número natural y les dice a sis alumnos:

1) El número, o termina en 5 o es divisible por 7.

2) O es mayor de 20, o termina en 9.

3) O es múltiplo de 12 o es menor que 21.

¿De entre estos números, cuál ha pensado el profesor?

$12;25;49;60;84$

Solución al problema 140

Problema 139. CM2010419

Se considera $a=\frac{2010}{2011};b=\frac{20102010}{20112011};c=\frac{201020102010}{201120112011}$. ¿Cuál es mayor, menor o igual?

Solución al problema 139

Problema 138. CM2010418

Se considera la tabla numérica

1ª fila	2
2ª fila	4	6
3ª fila	8	10	12
4ª fila	14	16	18	20
$⋮$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

¿Qué números hay en la fila 60?

Solución al problema 138

Problema 137. CM2010417

En un paralelogramo, la bisectriz de un ángulo divide a la diagonal (la que no pasa por el vértice) en la razón $$ 2:5 . ¿En qué razón divide al lado del paralelogramo?

Solución al problema 137

Problema 135. CM2010416

$$ ABCD es un rectángulo y AED Un triángulo equilátero con $AB=6cm,AD=12cm$ y $F$ es el punto medio de $AE$. Halla la medida del ángulo $\widehat{AFB}$.

Solución al problema 135

Problema 134. CM2004415

Si m y n son dos enteros positivos tales que $75m=n^3$¿Cuál es el menor valor de $m+n$?

Solución al problema 134

Problema 131. CM2013627

La suma de los primeros $n$ números enteros positivos es un número de tres cifras iguales. ¿Cuánto vale la suma de las cifras de n?

Solución al problema 131

Problema 128

Se lanza un dado tres veces. Si el número de puntos obtenido en el tercer lanzamiento es igual a la suma de los dos primeros,¿cuál es la probabilidad de que el 2 haya aparecido al menos una vez?

Solución al problema 128

Problema 127. Canguro Matemático 2010528

¿Cuántos números de tres cifras son tales que la cifra del medio es la media aritmética de las otras dos?

Solución al problema 127

Problema 125. Canguro matemático 2010625

Un piso se recubre con baldosas cuadradas de dos tamaños diferentes, conforme se ve en la figura. Los lados de esos cuadrados son, respectivamente, a y b, siendo a>b. Si las líneas de puntos trazadas en la figura forman un ángulo de 30º, ¿Cual es la razón entre a y b?

Solución al problema 125

Problema 124. Canguro matemático 2010629

Sea $f:R_{+}^{*}—\to R$ tal que $2f\left(x\right)+3f\left(\frac{2010}{x}\right)=5x$. Calcula $f\left(6\right)$.

Solución al problema 124

Problema 123. Canguro matemático 2010530

El código de barras mostrado se compone de franjas blancas y negras alternadas, siendo negras las de los extremos. Cada una de las franjas, blanca o negra, tiene una anchura de 1 ó 2, y el ancho total de código es 12. ¿Cuántos códigos de barras diferentes, en esas condiciones, leídos de izquierda a derecha, es posible construir?

Solución al problema 123

Problema 122. Canguro matemático 2010529

Una figura oval, con ejes de simetría vertical y horizontal, está formada por cuatro arcos de circunferencia. En el dibujo, los arcos a la izquierda y a la derecha son iguales y los arcos superior e inferior también son iguales. En cada uno de los puntos de unión de dos arcos, éstos tienen tangente común, y esos puntos de unión están alineados con los centros de los arcos. Además de eso, el óvalo es tangente a los lados de un rectángulo $4\times 8$. El radio de los arcos menores es 1. ¿Cual es el radio de los arcos mayores?

Solución al problema 122

Problema 116. Canguro matemático 2000624

¿Cual es el único entero N, tal que ${\left[\left(2^{2^N}+1\right)\left(2^{2^N}-1\right)+1\right]}^{\frac{1}{2}}=256$?

Solución al problema 116