Solución al problema 144

Enunciado del problema 144

$\widehat{DCB}=120º$. Por el teorema del coseno $D{B}^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot cos\widehat{DCB}=2\left(1+\frac{1}{2}\right)=3\Rightarrow DB=\sqrt{3}$. Entonces $PB=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow PC=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\Rightarrow MP=\frac{1}{2}$. Como $\widehat{MPB}=90º$, el triángulo $MPB$ es rectángulo, por tanto $\left[Área\left(MPB\right)\right]=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$.

El área del sectror circular es:

$\left[ÁreasectorMBA\right]=\frac{\pi \cdot 1^2}{6}=\frac{\pi }{6}$

Y el área pedida

$\left[Área\right]=\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\pi }{6}=\frac{4\pi +3\sqrt{3}}{24}$