Solución al problema 118

Enunciado del problema 118

Sea $p$ una solución común a $P\left(x\right)$ y $Q\left(x\right)$

$$\begin{array}{ccc}{p}^4+a{p}^3+b{p}^2+cp+1& =& 0\\ p^4+c{p}^3+b{p}^2+ap+1& =& 0\end{array}$$

Restando

$$\begin{array}{ccc}{p}^3\left(c-a\right)+p\left(a-c\right)& =& 0\\ p^3\left(c-a\right)-p\left(c-a\right)& =& 0\\ \left(c-a\right)\left(p^3-p\right)& =& 0\\ \left(c-a\right)p\left(p+1\right)\left(p-1\right)& =& 0\end{array}$$

Como $c/=a$, y $0$ no puede ser raíz de ninguno de los polinomios, las raíces deben ser las otras dos, es decir, $1$ y $-1$.

Sustituyendo en $P\left(x\right)$la raíz $1$ y en $Q\left(x\right)$ la raíz $-1$

$$\begin{array}{ccc}1+a+b+c+1& =& 0\\ 1-a+b-c+1& =& 0\end{array}$$

Sumando

$$2+2b+2=0\Rightarrow b=-2$$

Y finalmente, sustituyendo

$$1+a-2+c+1=0\Rightarrow c=-a$$

Los polinomios son

$$\begin{array}{ccc}P\left(x\right)& =& x^4+a{x}^3-2x^2-ax+1\\ Q\left(x\right)& =& x^4-a{x}^3-2x^2+ax+1\end{array}$$

Descomponiendo dichos polinomios, sabiendo que tienen las raíces $1$ y $-1$

$$\begin{array}{ccc}P\left(x\right)& =& \left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+ax-1\right)\\ Q\left(x\right)& =& \left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2-ax-1\right)\end{array}$$

La raíces distitnas de $1$ y $-1$ son

$$\begin{array}{ccc}x& =& \frac{-a\pm \sqrt{a^2+4}}{2}\\ x& =& \frac{a\pm \sqrt{a^2+4}}{2}\end{array}$$

Solución del problema 32

Enunciado del problema 32

$$\sqrt[4]{6561}\cdot 12^{\sqrt{x}}=6^x$$

Como$\sqrt[4]{6561}=\sqrt[4]{3^8}=9$

Tomando logaritmos

$$lo{g}_3\left(9\cdot 12^{\sqrt{x}}\right)=lo{g}_3{6}^x\Rightarrow 2+\sqrt{x}lo{g}_{3}12=xlo{g}_{3}6$$

$$2+\sqrt{x}\left(1+2lo{g}_{3}2\right)=x\left(1+lo{g}_{3}2\right)$$

Llamando $k=lo{g}_{3}2$

$$\begin{array}{ccc}2+\sqrt{x}\left(1+2lo{g}_{3}2\right)& =& x\left(1+lo{g}_{3}2\right)\\ \sqrt{x}\left(1+2k\right)& =& x\left(1+k\right)\\ \sqrt{x}\left(1+2k\right)& =& x\left(1+k\right)-2\\ x(1+2k{)}^2& =& x^2(1+k{)}^2-4(1+k)x+4\\ x^2(1+k{)}^2+x(-4\left(1+k\right)-\left(1+2k{)}^2\right)+4& =& 0\\ x^2(1+k{)}^2+x(-4-4k-1-4k-4k^2)+4& =& 0\\ x^2(1+k{)}^2+x(-4k^2-8k-5)+4& =& 0\\ x^2(1+k{)}^2-x[4(k+1{)}^2+1]+4& =& 0\end{array}$$

Se puede comprobar directamente o por Ruffini que

$$x^2(1+k{)}^2-x[4(k+1{)}^2+1]+4=(x-4\left)\right(x-\frac{1}{(1+lo{g}_{3}2{)}^2})$$

cuyas raíces son $4$ y $\frac{1}{(1+lo{g}_{3}2{)}^2}$, donde ésta última no resuelve la ecuación de partida

Solución del problema 28

Enunciado del problema 28

Si llamamos $a,b,c$ a las raíces del polinomio resulta:

$$\begin{array}{ccc}a+b+c& =& -2\\ ab+ac+bc& =& +3\\ abc& =& -4\end{array}$$

$$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)$$

Despejando

$$a^2+b^2+c^2=(a+b+c{)}^2-2(ab+ac+bc)=(-2{)}^2-2\left(3\right)=4-6=-2$$

Además

$$\begin{array}{ccc}(a+b+c{)}^3& =& \left(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\right)\left(a+b+c\right)=\end{array}$$

$$=a^3+a{b}^2+a{c}^2+a^{2}b+b^3+b{c}^2+a^{2}c+b^{2}c+c^3+2\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)=$$

$$a^3+b^3+c^3+a{b}^2+a{c}^2+a^{2}b+b{c}^2+a^{2}c+b^{2}c+2\left(3\right)\left(-2\right)=(*)$$

Como

$$2\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)=a^{2}b+a^{2}c+abc+a{b}^2+abc+b^{2}c+abc+a{c}^2+b{c}^2=$$

$$=a^{2}b+a^{2}c+a{b}^2+b^{2}c+a{c}^2+b{c}^2+3abc$$

Despejando y sustituyendo en (*)

$$(*)=a^3+b^3+c^3+\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)-3abc-12$$

Despejando

$$a^3+b^3+c^3=(a+b+c{)}^3-(ab+ac+bc\left)\right(a+b+c)+3abc+12=$$

$$=(-2{)}^3-(3\left)\right(-2)+3(-4)+12=-2$$

Por tanto

$$a^3+b^3+c^3=a^2+b^2+c^2=a+b+c=-2$$

Solución del problema 21

Enunciado del problema 21

Solución Como $2007=3^2\cdot 223$, los divisores son $1,3,9,223,669y2007$. Las parejas enteras tales que su producto sea 2007 son

1 2007

3 669

9 223

Como a debe ser positivo, la suma de las raíces debe ser negativa, por tanto las posibilidades son

raíz	raíz	Valor de a
-1	-2007	2008
-3	-669	672
-9	-223	232

Por tanto hay 3 valores de a