Solución al problema 118

Enunciado del problema 118

Sea $p$ una solución común a $P\left(x\right)$ y $Q\left(x\right)$

$$\begin{array}{ccc}{p}^4+a{p}^3+b{p}^2+cp+1& =& 0\\ p^4+c{p}^3+b{p}^2+ap+1& =& 0\end{array}$$

Restando

$$\begin{array}{ccc}{p}^3\left(c-a\right)+p\left(a-c\right)& =& 0\\ p^3\left(c-a\right)-p\left(c-a\right)& =& 0\\ \left(c-a\right)\left(p^3-p\right)& =& 0\\ \left(c-a\right)p\left(p+1\right)\left(p-1\right)& =& 0\end{array}$$

Como $c/=a$, y $0$ no puede ser raíz de ninguno de los polinomios, las raíces deben ser las otras dos, es decir, $1$ y $-1$.

Sustituyendo en $P\left(x\right)$la raíz $1$ y en $Q\left(x\right)$ la raíz $-1$

$$\begin{array}{ccc}1+a+b+c+1& =& 0\\ 1-a+b-c+1& =& 0\end{array}$$

Sumando

$$2+2b+2=0\Rightarrow b=-2$$

Y finalmente, sustituyendo

$$1+a-2+c+1=0\Rightarrow c=-a$$

Los polinomios son

$$\begin{array}{ccc}P\left(x\right)& =& x^4+a{x}^3-2x^2-ax+1\\ Q\left(x\right)& =& x^4-a{x}^3-2x^2+ax+1\end{array}$$

Descomponiendo dichos polinomios, sabiendo que tienen las raíces $1$ y $-1$

$$\begin{array}{ccc}P\left(x\right)& =& \left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+ax-1\right)\\ Q\left(x\right)& =& \left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2-ax-1\right)\end{array}$$

La raíces distitnas de $1$ y $-1$ son

$$\begin{array}{ccc}x& =& \frac{-a\pm \sqrt{a^2+4}}{2}\\ x& =& \frac{a\pm \sqrt{a^2+4}}{2}\end{array}$$