Solución al problema 119

Enunciado del problema 119

Supongamos que $E\left[\frac{N}{3}\right]=kkk$ (como cifras)

$kkk=k\cdot 111=3\cdot k\cdot 37$

Como $1+2+\dots +n=\frac{\left(n+1\right)n}{2}$

Igualando

$$3\cdot k\cdot 37=\frac{\left(n+1\right)n}{2}\Rightarrow 3\cdot 2\cdot k\cdot 37=\left(n+1\right)n$$

Como 37 es primo hay dos posibilidades

a) $n+1=37\Rightarrow n=36\Rightarrow 3\cdot 2\cdot k=36\Rightarrow k=6$

b) $n=37\Rightarrow n+1=38\Rightarrow 3\cdot 2\cdot k=38\Rightarrow k$ no es entero, lo que no es posible

Por tanto

$E\left[\frac{N}{3}\right]=666\Rightarrow N=3\cdot 666+2=2000$ (año de la olimpiada)