Solución al problema 117

Enunciado del problema 117

Calculemos algunos valores de $f\left(n\right)$

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$\dots$
$f\left(n\right)$	$1$	$1$	$2$	$1$	$2$	$2$	$3$	$1$	$2$	$2$	$3$	$2$	$3$	$3$	$4$	$1$	$2$	$\dots$

La función vale1 en $2^s$ , y luego aumenta en una unidad los siguientes valores desde 1 hasta un máximo de $2^{s-1}$.

Además se puede demostrar que $f\left(2^N-1\right)=N$

En efecto

$$f\left(2^N-1\right)=f\left(2^{N-1}+2^{N-2}+\dots +2^2+1\right)=f\left(2^{N-2}+2^{N-3}+\dots +2^2+1\right)+1=$$

$$=f\left(2^{N-3}+\dots +2^2+1\right)+2=f\left(2^2+1\right)+N-2=f\left(1\right)+N-1=N$$

Por tanto el valor mas alto se alcanza siempre en un número anterior a una potencia de dos, y su valor coincide con el exponente de dicha potencia. El valor máximo de $f\left(n\right)$ cuando $n\le 2001$será el de $1023$, por ser el número anterior a $2^{10}$, y el valor será $10$.

Además el menor número natural $n$ tal que $f\left(n\right)=2001$, será $n=2^{2001}-1$