Solución al problema 120

Enunciado del problema 120

a)

Supongamos que el lado de un polígono regular es $a=AB$. Tenemos que calcular el lado del polígono regular con el doble número de lados $AC$

Como

$$BM=\frac{a}{2}\Rightarrow OM=\sqrt{1-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}$$

$$MC=1-OM=1-\frac{\sqrt{1-a^2}}{2}$$

$$\begin{array}{ccc}B{C}^2& =& B{M}^2+M{C}^2=\frac{a^2}{4}+{\left(1-\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}\right)}^2=\end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}\frac{a^2}{4}+1-2\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}+1-\frac{a^2}{4}& =& 2-\sqrt{4-a^2}\end{array}$$

Por tanto si $a_n$ el el lado del polígono regular de $n$lados, el lado del polígono regular de $2n$ lados vale $a_{2n}=\sqrt{2-\sqrt{4-a_n^2}}$

b)$a_4$ es el cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 1, y por tanto el lado del cuadrado es $\sqrt{2}$

$$a_8=\sqrt{2-\sqrt{4-a_4^2}}=\sqrt{2-\sqrt{4-2}}=\sqrt{2-\sqrt{2}}=0.765366$$

Perímetro$$P_8=8\sqrt{2-\sqrt{2}}$$

Aproximación a pi

$${\pi }_8=\frac{8\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}=4\sqrt{2-\sqrt{2}}=3.06146$$

En general

$${\pi }_{2n}=\frac{2n{a}_{2n}}{2}=n\sqrt{2-\sqrt{4-a_n^2}}$$

$2n$	$a_{2n}$	${\pi }_{2n}$	${\pi }_{2n}-\pi$
$4$	$1,414213562$	$2,828427125$	$-0,313165529$
$8$	$0,765366865$	$3,061467459$	$-0,080125195$
$16$	$0,390180644$	$3,121445152$	$-0,020147501$
$32$	$0,196034281$	$3,136548491$	$-0,005044163$
$64$	$0,098135349$	$3,140331157$	$-0,001261497$
$128$	$0,049082457$	$3,141277251$	$-0,000315403$
$256$	$0,024543077$	$3,141513801$	$-7,88524\cdot 10^{-5}$
$512$	$0,012271769$	$3,14157294$	$-1,97132\cdot 10^{-5}$
$1024$	$0,006135914$	$3,141587725$	$-4,92831\cdot 10^{-6}$
$2048$	$0,00306796$	$3,141591422$	$-1,23209\cdot 10^{-6}$
$4096$	$0,001533981$	$3,141592346$	$-3,07979\cdot 10^{-7}$
$8192$	$0,00076699$	$3,141592577$	$-7,70448\cdot 10^{-8}$

Solución 1 del problema 17

Enunciado problema 17

En la figura de la izquierda a=$\overline{DC}$=$\overline{DC}$ y $\overline{AD}=m$

Por el teorema del seno en el triángulo $\stackrel{▵}{ADC}$

$$\frac{a}{sen15º}=\frac{m}{sen30º}$$

y en el triángulo $\stackrel{▵}{ABD}$

$$\frac{a}{sen\alpha }=\frac{m}{sen\left(135-\alpha \right)}$$

De lo anterior como

$$sen\left(135-\alpha \right)=sen135cos\alpha +cos135sen\alpha =$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha +\frac{\sqrt{2}}{2}sen\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}\left(cos\alpha +sen\alpha \right)$$

Entonces

$$\frac{a}{m}=\frac{sen15}{sen30}=\frac{sen\alpha }{sen\left(135-\alpha \right)}=\frac{sen\alpha }{\frac{\sqrt{2}}{2}\left(sen\alpha +cos\alpha \right)}$$

Desarrollando el sen30 como el seno del ángulo doble

$$\frac{sen15}{2sen15cos15}=\frac{sen\alpha }{\frac{\sqrt{2}}{2}\left(sen\alpha +cos\alpha \right)}\Rightarrow 2cos15=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+cot\alpha \right)$$

Como$$cos\alpha =\pm \sqrt{\frac{1+cos\alpha }{2}}\Rightarrow cos15=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$$

Sustituyendo $cos15=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$

$$\frac{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+cot\alpha \right)\Rightarrow \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}=1+cot\alpha$$

Utilizando que $\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ (Véase problema 16)

$cot\alpha =2\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}-1=\frac{2}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)-1=1+\frac{2\sqrt{3}}{2}-1=\sqrt{3}$

luego $\alpha =30º$

Solución 2 del problema 17

Enunciado problema 17

En la figura de la izquierda a=$\overline{BD}$=$\overline{DC}$ y $\overline{AD}=m$

Por el teorema del seno en el triángulo $\stackrel{▵}{ADC}$

$$\frac{a}{sen15º}=\frac{m}{sen30º}$$

y en el triángulo $\stackrel{▵}{ABD}$

$$\frac{a}{sen\alpha }=\frac{m}{sen\left(135-\alpha \right)}\Rightarrow sen30sen\alpha =sen15sen\left(135-\alpha \right)$$

Como $senasenb=\frac{cos\left(a+b\right)-cos\left(a-b\right)}{-2}$, resulta

$$\frac{cos\left(30+\alpha \right)-cos\left(30-\alpha \right)}{-2}=\frac{cos\left(15+135-\alpha \right)-cos\left(15-135+\alpha \right)}{-2}$$

$$cos\left(30+\alpha \right)-cos\left(30-\alpha \right)=cos\left(150-\alpha \right)-cos\left(\alpha -120\right)\left(1\right)$$

En cuanto a la primera parte de la igualdad anterior

$$cos\left(30+\alpha \right)-cos\left(30-\alpha \right)=$$

$$cos30cos\alpha -sen30sen\alpha -\left(cos30cos\alpha +sen30sen\alpha \right)=$$

$$-sen330sen\alpha -sen30sen\alpha =-2sen30sen\alpha =-sen\alpha$$

En cuanto a la segunda parte de

$$cos\left(150-\alpha \right)-cos\left(\alpha -120\right)=$$

$$=cos150cos\alpha +sen150sen\alpha -\left(cos\alpha cos120+sen\alpha sen120\right)=$$

$$=cos150cos\alpha +sen150sen\alpha -cos\alpha cos120-sen\alpha sen120)=$$

$$-\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha +\frac{1}{2}sen\alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha -\frac{1}{2}sen\alpha =-\sqrt{3}cos\alpha$$

Sustituyendo estos resultados en (1)

$$-sen\alpha =-\sqrt{3}cos\alpha \Rightarrow tan\alpha =\sqrt{3}\Rightarrow \alpha =30$$

Solución 3 problema 17

Enunciado problema 17

En la figura de arriba a=$\overline{BD}=DC$ y $AD=m$

Por el teorema del seno en el triángulo $ADC$

$$\frac{a}{sen15º}=\frac{m}{sen30º}$$

y en el triángulo $\stackrel{▵}{ABD}$

$$\frac{a}{sen\alpha }=\frac{m}{sen\left(135-\alpha \right)}$$

Combinando ambos resultados

$$\frac{sen15}{sen30}=\frac{sen\alpha }{sen\left(135-\alpha \right)}\Rightarrow \frac{sen\alpha sen30}{sen15}=sen\left(135-\alpha \right)\left(1\right)$$

Como

$$sen\left(135-\alpha \right)=sen135cos\left(-\alpha \right)+cos135sen\left(-\alpha \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha +\frac{\sqrt{2}}{2}sen\alpha$$

Sustituyendo ésta expresión en el segundo miembro de (1) y dividiendo por $cos\alpha$

$$\frac{tg\alpha }{2sen15}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}tg\alpha \Rightarrow tg\alpha =2sen15\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+tg\alpha \right)$$

$$tg\alpha =\sqrt{2}sen15+\sqrt{2}sen15tg\alpha \Rightarrow tg\alpha -\sqrt{2}sen15tg\alpha =\sqrt{2}sen15$$

$$tg\alpha \left(1-\sqrt{2}sen15\right)=\sqrt{2}sen15\Rightarrow tg\alpha =\frac{\sqrt{2}sen15}{1-\sqrt{2}sen15}\left(2\right)$$

Utilizando conocidas fórmulas trigonométricas y el resultado del problema 16

$$sen\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-cos\alpha }{2}}\Rightarrow sen15=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Sustituyendo en (2) y como $\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$$$\frac{\sqrt{2}sen15}{1-\sqrt{2}sen15}=\frac{\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{1-\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}{\frac{2-\sqrt{3}+1}{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{3-\sqrt{3}}=$$

$$=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(3+\sqrt{3}\right)}{\left(3-\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{3}\right)}=\frac{3\sqrt{3}-3+3-\sqrt{3}}{9-3}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \alpha =30º$$