Solución al problema 145

Enunciado del problema 145

$2010^{10}=(201\cdot 10{)}^{10}=201^{10}\cdot 10^{10}$

$201^{10}=(200+1{)}^{10}=(2\cdot 10^2{)}^{10}+10\cdot (2\cdot 10^2{)}^9+\dots +10\cdot 2\cdot 10^2+1=$

$2^{10}\cdot 10^{20}+2^9\cdot 10^{19}+\dots +1=1024\cdot 10^{20}+512\cdot 10^{19}+\dots +1$

El primer término de esta suma tiene claramente 24 cifras, el segundo 22 cifras, el tercero 21 cifras, y después cada vez menos, hasta tener solo una. Por tanto el número $201^{10}$ tendrá 24 cifras. Añadiendo la cifras de $10^{10}$, resultan un total del 34 cifras para $2010^{10}$ .

Solución al problema 141

Enunciado del problema 141

Los finales de los números son $$ 0,2,4,6,8,0,2,4,6,8,0

Para que el producto termine en $$ 0 , debe ser múltiplo de $5$ y $2$. Por lo tanto como solo hay tres ceros y ningún cinco, estos tres son los que figuran en el producto

Solución al problema 119

Enunciado del problema 119

Supongamos que $E\left[\frac{N}{3}\right]=kkk$ (como cifras)

$kkk=k\cdot 111=3\cdot k\cdot 37$

Como $1+2+\dots +n=\frac{\left(n+1\right)n}{2}$

Igualando

$$3\cdot k\cdot 37=\frac{\left(n+1\right)n}{2}\Rightarrow 3\cdot 2\cdot k\cdot 37=\left(n+1\right)n$$

Como 37 es primo hay dos posibilidades

a) $n+1=37\Rightarrow n=36\Rightarrow 3\cdot 2\cdot k=36\Rightarrow k=6$

b) $n=37\Rightarrow n+1=38\Rightarrow 3\cdot 2\cdot k=38\Rightarrow k$ no es entero, lo que no es posible

Por tanto

$E\left[\frac{N}{3}\right]=666\Rightarrow N=3\cdot 666+2=2000$ (año de la olimpiada)

Solución al problema 113

Enunciado del problema 113

Sean los números $ab$ y $cd$ con $a>b$

Entonces

$$ba\cdot cd+3816=ab\cdot cd$$

Dividiendo por $cd$, $ba+\frac{3816}{cd}=ab$. Esto quiere decir que cd es un divisor de $3816$, de dos cifras

Los divisores de $3816$ de dos cifras son $12,24,18,36,72$ y $53$.

Además si $cd$ es uno de esos números

$$ba+\frac{3816}{cd}=ab\Rightarrow ab-ba=\frac{3816}{cd}$$

Poniendo $ab=10+b$ y $ba=10b+a$

$$10a+b-10b-a=10\left(a-b\right)-\left(a-b\right)=9\left(a-b\right)$$

Luego $\frac{3816}{cd}$ debe ser un núltiplo de 9.

Probando los distintos números, el resultado de $\frac{3816}{cd}$ solo puede ser $18,72$ o $36$.

Pero $\frac{3816}{18}=212$ y $\frac{3816}{36}=106$ que son de tres cifras, luego $\frac{3816}{72}=53=cd$. Es decir que $9\left(a-b\right)=53\Rightarrow a-b=8$. Como suponemos que $ba$ es de dos cifras, $b>0$, luego solo puede ser $b=1$ y $a=9$, porque tanto $a$ como $b$ son de una sola cifra.

En resumen $ab=91$, y el resultado correcto es $ba\cdot cd=19\cdot 53=1007$

Solución al problema 82

Enunciado del problema 82

Sea el número $abc=100a+10b+c$, Sean los números de dos cifras $ab,ac$ y $bc$. Operando

$$\begin{array}{ccc}\frac{100a+10b+c}{2}& =& 10a+b+10a+c+10b+c\\ 100a+10b+c& =& 20a+2b+20a+2c+20b+2c\\ 60a-12b-3c& =& 0\\ c& =& 20a-4b\end{array}$$

Como a,b y c deben estar entre 0 y 9 (excepto a que debe ser distinto de 0), dando valores a a y b tenemos:

$a$	$b$	$c$
$1$	$3$	$8$
$1$	$4$	$4$
$1$	$5$	$0$
$2$	$8$	$8$
$2$	$9$	$4$

Como las tres cifras deben ser distintas, los números son 138, 150, 294

Solución al problema 79

Enunciado del problema 79

Sean $n-1,n$ y $n+1$

$$(n-1{)}^3+n^3+(n+1{)}^3=3n^3+6n=3n\left(n^2+2\right)$$

Si $n=3k$

$$3\cdot 3k\left(\right(3k{)}^2+2)=9k(9k^2+2)$$

Si $n=3k+1$

$$3\left(3k+1\right)\left(\right(3k+1{)}^2+2)=3(3k+1\left)\right(9k^2+6k+3)=9(3k+1\left)\right(3k^2+2k+1)$$

Si $n=3k+2$

$$3\left(3k+2\right)\left(\right(3k+2{)}^2+2)=3(3k+2\left)\right(9k^2+12k+6)=9(3k+2\left)\right(9k^2+4k+2)$$

En todos los casos la expresión resultante es múltiplo de 9

Solución del problema 52

Enunciado del problema 52

Voy a demostrarlo por inducción

$$\begin{array}{cc}n=1;& 5+2\cdot 1+1=8\\ n=2;& 5^2+2\cdot 3+1=32=8\cdot 4\end{array}$$

Supongámoslo cierto para n, y por tanto suponemos que

$$5^n+2\cdot 3^{n-1}+1=\stackrel{\cdot }{8}\Rightarrow 5^n=\stackrel{\cdot }{8}-2\cdot 3^{n-1}-1$$

Demostrémoslo para n+1

$$5^{n+1}+2\cdot 3^n+1=5\cdot 5^n+2\cdot 3\cdot 3^{n-1}+1=5\left(\stackrel{\cdot }{8}-2\cdot 3^{n-1}-1\right)+6\cdot 3^{n-1}+1=$$

$$=\stackrel{\cdot }{8}-10\cdot 3^{n-1}-5+6\cdot 3^{n-1}+1=\stackrel{\cdot }{8}-4\cdot 3^{n-1}-4=\stackrel{\cdot }{8}-4\left(3^{n-1}+1\right)(*)$$

Como $3^{n-1}$es impar para $n\ge 1$ entero, entonces $3^{n-1}+1$ es siempre par, y por tanto la expresión $(*)$es múltiplo de $8$