Solución del problema 52

Enunciado del problema 52

Voy a demostrarlo por inducción

$$\begin{array}{cc}n=1;& 5+2\cdot 1+1=8\\ n=2;& 5^2+2\cdot 3+1=32=8\cdot 4\end{array}$$

Supongámoslo cierto para n, y por tanto suponemos que

$$5^n+2\cdot 3^{n-1}+1=\stackrel{\cdot }{8}\Rightarrow 5^n=\stackrel{\cdot }{8}-2\cdot 3^{n-1}-1$$

Demostrémoslo para n+1

$$5^{n+1}+2\cdot 3^n+1=5\cdot 5^n+2\cdot 3\cdot 3^{n-1}+1=5\left(\stackrel{\cdot }{8}-2\cdot 3^{n-1}-1\right)+6\cdot 3^{n-1}+1=$$

$$=\stackrel{\cdot }{8}-10\cdot 3^{n-1}-5+6\cdot 3^{n-1}+1=\stackrel{\cdot }{8}-4\cdot 3^{n-1}-4=\stackrel{\cdot }{8}-4\left(3^{n-1}+1\right)(*)$$

Como $3^{n-1}$es impar para $n\ge 1$ entero, entonces $3^{n-1}+1$ es siempre par, y por tanto la expresión $(*)$es múltiplo de $8$