Solución del problema 53

Enunciado del problema 53

Sea m el radio de las circunferencias contenidas en la corona circular. Como $\alpha =\frac{360}{8}=45$, y por el teorema del coseno en el triángulo AOB

$$\begin{array}{ccc}(2m{)}^2& =& (R-m{)}^2+(R-m{)}^2-2\left(R-m\right)\left(R-m\right)cos\alpha \\ 4m^2& =& (R-m{)}^2(2-2cos\alpha )\\ \frac{m^2}{(R-m{)}^2}& =& \frac{2-2cos\alpha }{4}\\ {\left(\frac{m}{R-m}\right)}^2& =& \frac{1-cos\alpha }{2}(*)\end{array}$$

Además

$$m=\frac{R-r}{2}\Rightarrow R-m=\frac{R+r}{2}\Rightarrow \frac{m}{R-m}=\frac{\frac{R-r}{2}}{\frac{R+r}{2}}=\frac{R-r}{R+r}=\frac{\frac{R}{r}-1}{\frac{R}{r}+1}=\frac{d-1}{d+1}$$

donde he sustituido $\frac{R}{r}=d$, que es precisamente lo que se quiere calcular

Sustituyendo en $(*)$

$$\begin{array}{ccc}{\left(\frac{d-1}{d+1}\right)}^2& =& \frac{1-cos\alpha }{2}\\ \frac{d-1}{d+1}& =& \sqrt{\frac{1-cos\alpha }{2}}=sen\frac{\alpha }{2}\end{array}$$

En general dado $\alpha$, y despejando de la relación anterior $\frac{R}{r}=\frac{1+sen\frac{\alpha }{2}}{1-sen\frac{\alpha }{2}}$

En particular si $\alpha =45º$

$$d=\frac{1+sen\frac{45}{2}}{1-sen\frac{45}{2}}\simeq 2.2398$$