Solución al problema 76

Enunciado del problema 75

Tomemos los intervalos $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right),k\in Z,$

Para que las funciones $sen\left(x\right)$ y $\frac{x}{100}$ se corten, la función $f\left(x\right)=sen\left(x\right)-\frac{x}{100}$debe valer 0. Tomando valores en los extremos de dichos intervalos:

$$f\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{100}=1-\frac{\pi +4k\pi }{200}$$

Esta cantidad es positiva para

$$1-\frac{\pi +4k\pi }{200}>0\Rightarrow 1>\frac{\pi +4k\pi }{200}\Rightarrow \frac{200-\pi }{4k}>\pi \Rightarrow 15.66>\pi$$

Por tanto si $k=0,\dots ,15,f\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)>0$

Además

$$f\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{3\pi }{2}+2k\pi }{100}=-1-\frac{3\pi +4k\pi }{200}$$

que es negativo si $k>0$. Por el teorema de Bolzno, existe una raíz en el intervalo $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right),k=0,\dots ,15$

Si k=16, $\frac{\frac{\pi }{2}+2\cdot 16\pi }{100}=1.02$, y por tanto $sen\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{100}<0$, por tanto para $k>15$, $f\left(x\right)<0$, y a partir de $100$ no puede haber mas raíces

Tomemos ahora los intervalos $\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right)$, donde $k>0$

$$f\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{3\pi }{2}+2k\pi }{100}=-1-\frac{3\pi +4k\pi }{200}<0$$

$$f\left(\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{5\pi }{2}+2k\pi }{100}=1-\frac{5\pi +4k\pi }{200}$$

Este último valor es positivo cuando

$$1-\frac{5\pi +4k\pi }{200}>0\Rightarrow 1>\frac{5\pi +4k\pi }{200}\Rightarrow \frac{200-5\pi }{4\pi }>k\Rightarrow k<14.6$$

Por el teorema de Bolzano, hay una raíz en el intervalo $\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right),k=0,\dots ,14$

Hay $15+16$ raíces positivas. Habrá otras tantas negativas, porque la función es simétrica respecto del origen. Además $\left(0,0\right)$ también es solución.

En total $31+31+1=63$

Solución del problema 72

Enunciado del problema 72

Sean x e y los números entre 0 y 1. Las condiciones son

$\begin{array}{c}x<y^2\left(1\right)\\ y<x^2\left(2\right)\end{array}$

Representando gráficamente la parte (1) y (2) sobre un cuadrado de lado unidad, los casos favorables son aquellos que están en la zona de la trama

Como las dos partes de la trama son iguales:

$${\int }_0^1{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{3}$$

y por tanto la probabilidad pedida es

$$p=2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

Solución al problema 71

Enunciado del problema 71

Demostremos por inducción que $A^n={\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)}^n=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ n& 1& 0\\ \frac{n^2+n}{2}& n& 1\end{array}\right)$

Caso n=1

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$$

Caso n=2

$$A^2={\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$$

Supongamos $A^n=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

$$A^n\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ n& 1& 0\\ \frac{n^2+n}{2}& n& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ n+1& 1& 0\\ \frac{n^2+n}{2}+n+1& n+1& 1\end{array}\right)=$$

$$=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ n+1& 1& 0\\ \frac{n^2+3n+2}{2}& n+1& 1\end{array}\right)=A^{n+1}$$

Solución del problema 52

Enunciado del problema 52

Voy a demostrarlo por inducción

$$\begin{array}{cc}n=1;& 5+2\cdot 1+1=8\\ n=2;& 5^2+2\cdot 3+1=32=8\cdot 4\end{array}$$

Supongámoslo cierto para n, y por tanto suponemos que

$$5^n+2\cdot 3^{n-1}+1=\stackrel{\cdot }{8}\Rightarrow 5^n=\stackrel{\cdot }{8}-2\cdot 3^{n-1}-1$$

Demostrémoslo para n+1

$$5^{n+1}+2\cdot 3^n+1=5\cdot 5^n+2\cdot 3\cdot 3^{n-1}+1=5\left(\stackrel{\cdot }{8}-2\cdot 3^{n-1}-1\right)+6\cdot 3^{n-1}+1=$$

$$=\stackrel{\cdot }{8}-10\cdot 3^{n-1}-5+6\cdot 3^{n-1}+1=\stackrel{\cdot }{8}-4\cdot 3^{n-1}-4=\stackrel{\cdot }{8}-4\left(3^{n-1}+1\right)(*)$$

Como $3^{n-1}$es impar para $n\ge 1$ entero, entonces $3^{n-1}+1$ es siempre par, y por tanto la expresión $(*)$es múltiplo de $8$

Solución del problema 37

Enunciado del problema 37

Para resolverlo vamos a considerar una esfera tal que es tangente a cada plano OXY, OXZ y OYZ. También vamos a suponer que el radio de la esfera es a

Por tanto el centro de la esfera tiene coordenadas $\left(a,a,a\right)$

La distancia desde el centro de la esfera al origen será $\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}$. Si añadimos a a esta distancia, obtendremos uno de los puntos de corte de la recta que pasa por el origen y por el centro de la esfera, al cortarse con la esfera. El otro será $a\sqrt{3}-a$

Un esfera que contenga a ésta, sea tangente a ella y tenga por centro el origen de coordenadas tendrá por radio $a\left(\sqrt{3}+1\right)$. Por tanto si R es el radio de dicha esfera mayor, y a es el radio de la esfera pequeña, la relación sería:

$$R=a\left(\sqrt{3}+1\right)\Rightarrow a=\frac{R}{\sqrt{3}+1}=R\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Si $R$ vale $1m$, entonces $a=100\frac{\sqrt{3}-1}{2}cm\simeq 36.60cm$