Solución del problema 37

Enunciado del problema 37

Para resolverlo vamos a considerar una esfera tal que es tangente a cada plano OXY, OXZ y OYZ. También vamos a suponer que el radio de la esfera es a

Por tanto el centro de la esfera tiene coordenadas $\left(a,a,a\right)$

La distancia desde el centro de la esfera al origen será $\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}$. Si añadimos a a esta distancia, obtendremos uno de los puntos de corte de la recta que pasa por el origen y por el centro de la esfera, al cortarse con la esfera. El otro será $a\sqrt{3}-a$

Un esfera que contenga a ésta, sea tangente a ella y tenga por centro el origen de coordenadas tendrá por radio $a\left(\sqrt{3}+1\right)$. Por tanto si R es el radio de dicha esfera mayor, y a es el radio de la esfera pequeña, la relación sería:

$$R=a\left(\sqrt{3}+1\right)\Rightarrow a=\frac{R}{\sqrt{3}+1}=R\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Si $R$ vale $1m$, entonces $a=100\frac{\sqrt{3}-1}{2}cm\simeq 36.60cm$