Solución del problema 32

Enunciado del problema 32

$$\sqrt[4]{6561}\cdot 12^{\sqrt{x}}=6^x$$

Como$\sqrt[4]{6561}=\sqrt[4]{3^8}=9$

Tomando logaritmos

$$lo{g}_3\left(9\cdot 12^{\sqrt{x}}\right)=lo{g}_3{6}^x\Rightarrow 2+\sqrt{x}lo{g}_{3}12=xlo{g}_{3}6$$

$$2+\sqrt{x}\left(1+2lo{g}_{3}2\right)=x\left(1+lo{g}_{3}2\right)$$

Llamando $k=lo{g}_{3}2$

$$\begin{array}{ccc}2+\sqrt{x}\left(1+2lo{g}_{3}2\right)& =& x\left(1+lo{g}_{3}2\right)\\ \sqrt{x}\left(1+2k\right)& =& x\left(1+k\right)\\ \sqrt{x}\left(1+2k\right)& =& x\left(1+k\right)-2\\ x(1+2k{)}^2& =& x^2(1+k{)}^2-4(1+k)x+4\\ x^2(1+k{)}^2+x(-4\left(1+k\right)-\left(1+2k{)}^2\right)+4& =& 0\\ x^2(1+k{)}^2+x(-4-4k-1-4k-4k^2)+4& =& 0\\ x^2(1+k{)}^2+x(-4k^2-8k-5)+4& =& 0\\ x^2(1+k{)}^2-x[4(k+1{)}^2+1]+4& =& 0\end{array}$$

Se puede comprobar directamente o por Ruffini que

$$x^2(1+k{)}^2-x[4(k+1{)}^2+1]+4=(x-4\left)\right(x-\frac{1}{(1+lo{g}_{3}2{)}^2})$$

cuyas raíces son $4$ y $\frac{1}{(1+lo{g}_{3}2{)}^2}$, donde ésta última no resuelve la ecuación de partida