Solución del problema 40

Enunciado del problema 40

Sea $z=R_{\alpha };\bar{z}=R_{-\alpha };z^3=R_{3\alpha }^3$

Tenemos que resolver $R_{-\alpha }=R_{3\alpha }^3$

$$\{\begin{array}{c}R=R^3\Rightarrow R^3-R=0\Rightarrow R\left(R+1\right)\left(R-1\right)=0\\ -\alpha =3\alpha +2k\pi ;k\in Z;-4\alpha =2k\pi \Rightarrow 4\alpha =2k\pi \Rightarrow \alpha =\frac{2k\pi }{4}\end{array}.$$

Como $R$ es una distancia y ha de ser mayor que 0,$R=1$, y dando valores a $k$

$k$	$\alpha$	$z$
0	0	$1_0=1$
1	$\frac{\pi }{2}$	$1_{\frac{\pi }{2}}=i$
2	$\pi$	$1_{\pi }=-1$
3	$\frac{3\pi }{2}$	$1_{\frac{3\pi }{2}}=-i$
Para k>3 se repiten