Solución al problema 128

Enunciado del problema 127

Si la suma de puntos obtenidos por los dos primeros lanzamientos es igual a la del tercero, entonces la suma debe ser menor o igual que 6. Las posibilidades son:

11	21	31	41	51
12	22	32	42
13	23	33
14	24
15

Por tanto la probabilidad es $\frac{7}{15}$

Solución al problema 127

Enunciado del problema 127

Si ab, significa a=primera cifra, y b=última cifra, para que la cifra del medio sea media aritmética de los extremos, la suma de ellas ha de ser par, por tanto a y b han de ser, simultáneamente pares o impares.

Clasifiquemos ab, según la cifra final (b)

Cifra final	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Posibilidades	20	11	22	13	24	15	26	17	28	19
	40	31	42	33	44	35	43	37	48	39
	60	51	62	53	64	55	66	57	68	59
	80	71	82	73	84	75	86	77	88	79
	$$	91	$$	93	$$	95	$$	97	$$	99

Total $4\times 5+5\times 5=45$

Solución al problema 126

Enunciado del problema 126

Supongamos que la primera difra es un 1. La segunda cifra puede ser 2,5,4 y para cada una de ellas hay varias posibilidades. Se explican es esta tabla:

Cifras			Posibilidades 4ª cifra	Total 2ª cifra	Total 1ª cifra
1	2	3
1	2	1	3	24	80
		3	3
		4	5
		5	8
		6	5
	5	1	3	32
		2	5
		3	3
		4	5
		6	5
		7	3
		8	5
		9	3
	4	1	3	24
		2	5
		5	8
		7	3
		8	5

Las tres primera columnas de la tabla pueden leerse de izquierda a derecha como un diagrama en árbol. La cuarta columna solo contine las posibilidades que hay para una cuarta cifra, según la elección de las tres anterirores. En la quinta columna está la suma de las posibilidades que hay una vez que se han elegido la primera y segunda cifra, y en la última columna están las posibilidades que hay cuando se ha elegido la primera cifra.

Por simetría, lo mismo que para las combinaciones que empiezan por 1, se puede decir de las combinaciones de cifras que empiezan por 3, 7 y 9.

Estudiemos las posibilidades que hay si empezamos por 2

Cifras			Posibilidades 4ª cifra	Total 2ª cifra	Total 1ª cifra
1	2	3
2	4	1	3	24	116
		2	5
		2	5
		5	8
		8	5
		7	3
	5	1	3	32
		2	5
		3	3
		4	5
		6	5
		7	3
		8	5
		9	3
	6	3	3	24
		2	5
		5	8
		9	3
		8	5
	1	2	5	18
		4	5
		5	8
	3	2	5	18
		5	8
		6	5

Por simetría, ocurrirá lo mismo para las posiciones 4,6 y 8

Estudiemos las posibilidades para 5

Cifras			Posibilidades 4ª cifra	Total 2ª cifra	Total 1ª cifra
1	2	3
5	6	3	3	24
		2	5
		5	8
		8	5
		9	3
	3	2	5	18
		5	8
		6	5

Para completar esta tabla, las cifras de la segunda columna correspondientes a 2,4 y 8 son las mismas que las de 6, y las cifras de la segunda columna correspondientes a 1, 7 y 9 son las mismas que las de 3. Por tanto el número de posibilidades de cifras que comienzan por 5 son 18+24+18+24+24+18+24+18, que corresponden a las que tienen como segunda cifra 1,2,3,4,6,7,8 y 9. En total 168.

Sumando todas las posibilidades de que la primera cifra sea 1,2,3,4,5,6,7,8 y 9, será respectivamente 80+116+80+116+168+116+80+116+80=952

Solución al problema 99

Enunciado del problema 99

Como $33=3\cdot 11=3\cdot 11\cdot 1$ y $M+B+E+R\ge 0+1+2+3=6$, las letras $N$ y $U$ solo pueden ser $3$ y $1$.Como el valor del resto de las letras ha de ser diferente a ellas $M+B+E+R\ge 0+2+4+5=11$, que coincide con el otro factor, por tanto $M+B+E+R=11$, y las letras $M,B,E,R$ tienen que tomar los valores $0,2,4,5$ y ser distintas. Esto se puede hacer de $4!$ maneras y a su vez a $N$ y $U$ se pueden asignar valores de dos maneras diferentes. En total hay $2\cdot 4!=48$ posibilidades

Solución al problema 95. CM2016526

Enunciado del problema 95

Con $8$ vértices podemos format $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)$ triángulos, o sea $56$.

En cada cara hay 4 vértices. Eligiendo tres de ellos, podemos formar $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)$ vértices, es decir 4. Como hay $6$ caras, habrá un total de $24$ triángulos cuyos vértices están en las caras. Por tanto el número de triángulos cuyos vértices no están en las caras será de $56-24=32$

Solución al problema 93

Enunciado del problema 93

Si ordenamos los 7! números, irán primero los que empiecen por 1 (6! de ellos), luego los que empiecen por 2, por 3, por 4, por 5 por 6 y por 7. Escritos en orden, los centrales empezan por 4. Dentro de éstos, estarán colocados los que empiezan por 1,2,3,5,6 y 7. Si buscamos el último de la primera mitad, deberá empezar por 3, y ser el último por tanto, de los que empiezan por 43. El orden a partir de aquí lo darán las cifras mayores de mayor a menor. El último de la primera mitad será el 4376521.

Solución del problema 68

Enunciado del problema 68

Supongamos

$$\begin{array}{ccc}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n-1}\right)=3003;& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n}\right)=2002;& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n+1}\right)=1001\end{array}$$

Entonces

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n-1}\right)=\frac{m!}{\left(n-1\right)!\left(m-n+1\right)!}=\frac{m!}{\left(n-1\right)!\left(m-n+1\right)\left(m-n\right)\left(m-n-1\right)!}$$

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n}\right)=\frac{m!}{\left(n\right)!\left(m-n\right)!}=\frac{m!}{n\left(n-1\right)!\left(m-n+1\right)\left(m-n\right)\left(m-n-1\right)!}$$

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n+1}\right)=\frac{m!}{\left(n+1\right)!\left(m-n+1\right)!}=\frac{m!}{\left(n+1\right)n\left(n-1\right)!\left(m-n-1\right)!}$$

En consecuencia

$$\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n+1}\right)}=\frac{\frac{m!}{n\left(n-1\right)!\left(m-n+1\right)\left(m-n\right)\left(m-n-1\right)!}}{\frac{m!}{\left(n+1\right)n\left(n-1\right)!\left(m-n-1\right)!}}=$$

$$\frac{m!\left(n+1\right)n\left(n-1\right)!\left(m-n-1\right)!}{m!n\left(n-1\right)!\left(m-n\right)\left(m-n-1\right)!}=\frac{n+1}{m-n}=\frac{2002}{1001}=2$$

$$\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n-1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n}\right)}=\frac{\frac{m!}{\left(n-1\right)!\left(m-n+1\right)\left(m-n\right)\left(m-n-1\right)!}}{\frac{m!}{n\left(n-1\right)!\left(m-n+1\right)\left(m-n\right)\left(m-n-1\right)!}}=$$

$$\frac{m!n\left(n-1\right)!\left(m-n\right)\left(m-n-1\right)!}{m!\left(n-1\right)!\left(m-n+1\right)\left(m-n\right)\left(m-n-1\right)!}==\frac{n}{m-n+1}=\frac{3}{2}$$

y finalmemte

$$\{\begin{array}{c}2n=3\left(m-n+1\right)\\ n+1=2\left(m-n\right)\end{array}.\Rightarrow \{\begin{array}{c}m=14\\ n=9\end{array}.$$

La fila completa será

$1,14,91,364,1001,2002,3003,3003,2002,1001,364,91,14,1$

Solución del problema 5

Enunciado del problema 5

Como el criterio de divisibilidad por 9 es que la suma de sus cifras sea múltiplo de 9, ya que tenemos 8 cifras, faltará una.

Cifra que falta	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Suma de las demás	44	43	42	41	40	39	38	37	36

Por lo tanto solamente cuando están las cifras del 1 al 8, el número es divisible por 9. Hay por tanto $8!$ números o sea $\frac{z}{9}$ que sean divisibles por 9