Solución al problema 126

Enunciado del problema 126

Supongamos que la primera difra es un 1. La segunda cifra puede ser 2,5,4 y para cada una de ellas hay varias posibilidades. Se explican es esta tabla:

Cifras			Posibilidades 4ª cifra	Total 2ª cifra	Total 1ª cifra
1	2	3
1	2	1	3	24	80
		3	3
		4	5
		5	8
		6	5
	5	1	3	32
		2	5
		3	3
		4	5
		6	5
		7	3
		8	5
		9	3
	4	1	3	24
		2	5
		5	8
		7	3
		8	5

Las tres primera columnas de la tabla pueden leerse de izquierda a derecha como un diagrama en árbol. La cuarta columna solo contine las posibilidades que hay para una cuarta cifra, según la elección de las tres anterirores. En la quinta columna está la suma de las posibilidades que hay una vez que se han elegido la primera y segunda cifra, y en la última columna están las posibilidades que hay cuando se ha elegido la primera cifra.

Por simetría, lo mismo que para las combinaciones que empiezan por 1, se puede decir de las combinaciones de cifras que empiezan por 3, 7 y 9.

Estudiemos las posibilidades que hay si empezamos por 2

Cifras			Posibilidades 4ª cifra	Total 2ª cifra	Total 1ª cifra
1	2	3
2	4	1	3	24	116
		2	5
		2	5
		5	8
		8	5
		7	3
	5	1	3	32
		2	5
		3	3
		4	5
		6	5
		7	3
		8	5
		9	3
	6	3	3	24
		2	5
		5	8
		9	3
		8	5
	1	2	5	18
		4	5
		5	8
	3	2	5	18
		5	8
		6	5

Por simetría, ocurrirá lo mismo para las posiciones 4,6 y 8

Estudiemos las posibilidades para 5

Cifras			Posibilidades 4ª cifra	Total 2ª cifra	Total 1ª cifra
1	2	3
5	6	3	3	24
		2	5
		5	8
		8	5
		9	3
	3	2	5	18
		5	8
		6	5

Para completar esta tabla, las cifras de la segunda columna correspondientes a 2,4 y 8 son las mismas que las de 6, y las cifras de la segunda columna correspondientes a 1, 7 y 9 son las mismas que las de 3. Por tanto el número de posibilidades de cifras que comienzan por 5 son 18+24+18+24+24+18+24+18, que corresponden a las que tienen como segunda cifra 1,2,3,4,6,7,8 y 9. En total 168.

Sumando todas las posibilidades de que la primera cifra sea 1,2,3,4,5,6,7,8 y 9, será respectivamente 80+116+80+116+168+116+80+116+80=952