Solución al problema 129

Enunciado del problema 129

Esta es una excelente aproximación de $\pi$ debida a Ramanujan, citado en el libro LA PROPORCIÓN TRANSCENDENTAL escrito por Alfred Posamentier e Ingmar Lehmann, Ed.Ariel

Sea $\overline{AB}$ el diametro del círculo cuyo centro es O.

a) Dividimos en dos el arco $\widehat{ABC}$ en C y en tres $\overline{AO}$ en T.

$$CB=r\sqrt{2}=AC$$$$AT=\frac{r}{3}$$

b) Unimos $\overline{BC}$ y lo cortamos de $\overline{CM}$ y $\overline{MN}$ igual a AT.

$$AT=CM=MN=\frac{r}{3}$$

c) Unimos $\overline{AM}$, y $\overline{AN}$ y lo cortamos en P con $\overline{AM}=\overline{AP}$

$$AM=\sqrt{AC{}^2+M{C}^2}=\sqrt{(r\sqrt{2}{)}^2+{\left(\frac{r}{3}\right)}^2}=\sqrt{2r^2+\frac{r^2}{9}}=\sqrt{\frac{19r^2}{9}}=\frac{r\sqrt{19}}{3}\Rightarrow$$

$$AM=AP=\frac{r\sqrt{19}}{3}$$

$$AN=\sqrt{AC{}^2+N{C}^2}=\sqrt{(r\sqrt{2}{)}^2+{\left(\frac{2r}{3}\right)}^2}=\sqrt{2r^2+\frac{4r^2}{9}}=\sqrt{\frac{22r^2}{9}}=\frac{r\sqrt{22}}{3}$$

d) A través de P trazamos $\overline{PQ}$ paralela a $\overline{MN}$ y que se une a $\overline{AM}$ en Q.

$$\frac{AQ}{AM}=\frac{AP}{AN}\Rightarrow AQ=\frac{AP\cdot AM}{AN}=\frac{\frac{r\sqrt{19}}{3}\cdot \frac{r\sqrt{19}}{3}}{\frac{r\sqrt{22}}{3}}=\frac{19r}{3\sqrt{22}}$$

e) Unimos $\overline{OQ}$ y a través de T trazamos $\overline{TR}$, paralela a $\overline{OQ}$ y que se une a $\overline{AQ}$ en R.

$$AR=\frac{19r}{3\sqrt{22}}\cdot \frac{1}{3}=\frac{19r}{9\sqrt{22}}$$

f) Trazamos AS perpendicular a $\overline{AO}$ e igual a AR, y que se une a $\overline{OS}$.

$$OS=\sqrt{A{S}^2+A{O}^2}=\sqrt{\frac{19r^2}{1782}+r^2}=r\sqrt{1+\frac{19^2}{1782}}$$

g)La media proporcional entre OS y OB es prácticamente igual a un sexto de la circunferencia.

Recordemos que la media proporcional se puede obtener geométricamente así

Sea a, b las medidas, construimos una semicircunferenica de diámetro a+b. Trazamos una perpendicular a dicho diámetro por un punto situado a una distancia b de uno de los extremos, hasta el corte con la circunferencia. Dicha altura es la media proporcional.

En efecto por el teorema de la altura, al ser un triángulo rectángulo

$$h^2=ab\Rightarrow \frac{h}{a}=\frac{b}{h}$$

y por tanto h es la media proporcional.

En nuestro caso hay que calcular:

$$Mediaproporcional=\sqrt{OS\cdot OB}=\sqrt{r\sqrt{1+\frac{19^2}{1782}}r}=r\sqrt[4]{\frac{2143}{1782}}$$

Calculando el valor

$3\cdot \sqrt[4]{\frac{2143}{1782}}\simeq \mathrm{3.1415926525826461252...}\simeq \pi =\mathrm{3.1415926535897932384...}$

La diferencia entre el valor calculado y el verdadero valor de$\pi$es de $1.004461\cdot 10^{-9}$