Solución al problema 98

Enunciado del problema 98

Etiquetamos los vértices y analizamos uno por uno los ángulos. Si el lado del cubo mide 2, hay dos clases de triángulos según la longitud de los lados.

Clase $\alpha$

Triángulo de lados $\sqrt{2}$ . Ángulo de 60º

Clase $\beta$

Triángulo de lados $\sqrt{2},\sqrt{2}$ y $\sqrt{6}$. Ángulo 120º

Clase $\alpha$		Clase $\beta$
ABC	$60º$	BCD	$120º$
CDE	$60º$	DEF	$120º$
EFG	$60º$	FGH	$120º$
GHI	$60º$	HIJ	$120º$
IJK	$60º$	JKL	$120º$
KLA	$60º$	LAB	$120º$

En total $6\cdot 60º+6\cdot 120º=1080º$

Solución del problema 37

Enunciado del problema 37

Para resolverlo vamos a considerar una esfera tal que es tangente a cada plano OXY, OXZ y OYZ. También vamos a suponer que el radio de la esfera es a

Por tanto el centro de la esfera tiene coordenadas $\left(a,a,a\right)$

La distancia desde el centro de la esfera al origen será $\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}$. Si añadimos a a esta distancia, obtendremos uno de los puntos de corte de la recta que pasa por el origen y por el centro de la esfera, al cortarse con la esfera. El otro será $a\sqrt{3}-a$

Un esfera que contenga a ésta, sea tangente a ella y tenga por centro el origen de coordenadas tendrá por radio $a\left(\sqrt{3}+1\right)$. Por tanto si R es el radio de dicha esfera mayor, y a es el radio de la esfera pequeña, la relación sería:

$$R=a\left(\sqrt{3}+1\right)\Rightarrow a=\frac{R}{\sqrt{3}+1}=R\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Si $R$ vale $1m$, entonces $a=100\frac{\sqrt{3}-1}{2}cm\simeq 36.60cm$