Solución al problema 147

Hay que calcular

$\frac{\left(2+3\right)\left(2^2+3^2\right)\left(2^4+3^4\right)\left(2^8+3^8\right)\dots \left(2^{1024}+3^{1024}\right)\left(2^{2048}+3^{2048}\right)+2^{4096}}{3^{2048}}$(1)

Como la suma de los n términos de una progresión geométrica de razón r es $S_n=\frac{a_{n}r-a_1}{r-1}$ y como $3\cdot 3^2\cdot 3^3\cdot \dots \cdot 3^{1024}=3^{2047}$

$\frac{\left(2+3\right)\left(2^2+3^2\right)\left(2^4+3^4\right)\dots \left(2^{1024}+3^{1024}\right)\left(2^{2048}+3^{2048}\right)}{3^{2048}}=$

$=\left(\frac{2+3}{3}\right)\left(\frac{2^2+3^2}{3^2}\right)\left(\frac{2^4+3^4}{3^4}\right)\dots \left(\frac{2^{1024}+3^{1024}}{3^{1024}}\right)\frac{\left(2^{2048}+3^{2048}\right)}{3}$(2)

Llamando $m=\frac{2}{3}$

$\left(m+1\right)\left(m^2+1\right)\left(m^4+1\right)\dots \left(m^{1024}+1\right)=$

$m^{2047}+m^{2046}+m^{2045}+\dots +m^2+m+1=$

$\frac{m^{2048}-1}{m-1}=\frac{1-m^{2048}}{1-m}=\frac{1-m^{2048}}{1-\frac{2}{3}}=3\left(1-m^{2048}\right)$

con lo cual en (2)

$\left(2\right)=3\left(1-m^{2048}\right)\frac{2^{2048}+3^{2048}}{3}$

Y por tanto en (1)

$\left(1\right)=\left(1-m^{2048}\right)\left(2^{2048}+3^{2048}\right)+\frac{2^{4096}}{3^{2048}}=\left(1-m^{2048}\right)\left(2^{2048}+3^{2048}\right)+m^{2048}{2}^{2048}=$

$=\frac{\left(1-m^{2048}\right)\left(2^{2048}+3^{2048}\right)+m^{2048}{2}^{2048}}{3^{2048}}{3}^{2048}=\left(\left(1-m^{2048}\right)\left(m^{2048}+1\right)+m^{2048}{m}^{2048}\right)3^{2048}=$

$\left[\left(1-m^{4096}\right)+m^{4096}\right]3^{2048}=3^{2048}$