Solución al problema 124

Enunciado del problema 124

$$\begin{array}{ccc}.\begin{array}{ccc}2f\left(6\right)+3f\left(\frac{2010}{6}\right)& =& 30\\ 2f\left(\frac{2010}{6}\right)+3f\left(6\right)& =& 1675\end{array}\}& \Rightarrow & .\begin{array}{ccc}2f\left(6\right)+3f\left(335\right)& =& 30\\ 2f\left(335\right)+3f\left(6\right)& =& 1675\end{array}\}\Rightarrow \\ \Rightarrow .\begin{array}{ccc}4f\left(6\right)+6f\left(335\right)& =& 60\\ 9f\left(6\right)+6f\left(335\right)& =& 5025\end{array}\}& \Rightarrow & 5f\left(6\right)=4965\Rightarrow f\left(6\right)=993\end{array}$$

Solución al problema 118

Enunciado del problema 118

Sea $p$ una solución común a $P\left(x\right)$ y $Q\left(x\right)$

$$\begin{array}{ccc}{p}^4+a{p}^3+b{p}^2+cp+1& =& 0\\ p^4+c{p}^3+b{p}^2+ap+1& =& 0\end{array}$$

Restando

$$\begin{array}{ccc}{p}^3\left(c-a\right)+p\left(a-c\right)& =& 0\\ p^3\left(c-a\right)-p\left(c-a\right)& =& 0\\ \left(c-a\right)\left(p^3-p\right)& =& 0\\ \left(c-a\right)p\left(p+1\right)\left(p-1\right)& =& 0\end{array}$$

Como $c/=a$, y $0$ no puede ser raíz de ninguno de los polinomios, las raíces deben ser las otras dos, es decir, $1$ y $-1$.

Sustituyendo en $P\left(x\right)$la raíz $1$ y en $Q\left(x\right)$ la raíz $-1$

$$\begin{array}{ccc}1+a+b+c+1& =& 0\\ 1-a+b-c+1& =& 0\end{array}$$

Sumando

$$2+2b+2=0\Rightarrow b=-2$$

Y finalmente, sustituyendo

$$1+a-2+c+1=0\Rightarrow c=-a$$

Los polinomios son

$$\begin{array}{ccc}P\left(x\right)& =& x^4+a{x}^3-2x^2-ax+1\\ Q\left(x\right)& =& x^4-a{x}^3-2x^2+ax+1\end{array}$$

Descomponiendo dichos polinomios, sabiendo que tienen las raíces $1$ y $-1$

$$\begin{array}{ccc}P\left(x\right)& =& \left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+ax-1\right)\\ Q\left(x\right)& =& \left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2-ax-1\right)\end{array}$$

La raíces distitnas de $1$ y $-1$ son

$$\begin{array}{ccc}x& =& \frac{-a\pm \sqrt{a^2+4}}{2}\\ x& =& \frac{a\pm \sqrt{a^2+4}}{2}\end{array}$$

Solución al problema 117

Enunciado del problema 117

Calculemos algunos valores de $f\left(n\right)$

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$\dots$
$f\left(n\right)$	$1$	$1$	$2$	$1$	$2$	$2$	$3$	$1$	$2$	$2$	$3$	$2$	$3$	$3$	$4$	$1$	$2$	$\dots$

La función vale1 en $2^s$ , y luego aumenta en una unidad los siguientes valores desde 1 hasta un máximo de $2^{s-1}$.

Además se puede demostrar que $f\left(2^N-1\right)=N$

En efecto

$$f\left(2^N-1\right)=f\left(2^{N-1}+2^{N-2}+\dots +2^2+1\right)=f\left(2^{N-2}+2^{N-3}+\dots +2^2+1\right)+1=$$

$$=f\left(2^{N-3}+\dots +2^2+1\right)+2=f\left(2^2+1\right)+N-2=f\left(1\right)+N-1=N$$

Por tanto el valor mas alto se alcanza siempre en un número anterior a una potencia de dos, y su valor coincide con el exponente de dicha potencia. El valor máximo de $f\left(n\right)$ cuando $n\le 2001$será el de $1023$, por ser el número anterior a $2^{10}$, y el valor será $10$.

Además el menor número natural $n$ tal que $f\left(n\right)=2001$, será $n=2^{2001}-1$

Solución al problema 90

Enunciado del problema 90

$P\left(x\right)$será divisible por $x-1$ si $P\left(1\right)=0$.

Sea el polinomio $P\left(x\right)=a_{100}{x}^{100}+a_{99}{x}^{99}+\dots +a_{1}x+a_0$

$$p\left(1\right)=a_{100}+a_{99}+\dots +a_1+a_0$$

Como $\left|a_i\right|\le 50$ y deben ser todos distintos, puesto que hay $101$ valores enteros menores o iguales que $50$ en valor absoluto $\left(-50,-49,-48,\dots ,-1,0,1,\dots ,49,50\right)$, al sumarlos todos ellos, el resultado será, en algún orden, $-50-49-48-\dots -1+0+1+\dots +48+49+50=0$. Por tanto $P\left(1\right)=0$, y $P\left(x\right)$ será divisible por $x-1$

Solución al problema 76

Enunciado del problema 75

Tomemos los intervalos $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right),k\in Z,$

Para que las funciones $sen\left(x\right)$ y $\frac{x}{100}$ se corten, la función $f\left(x\right)=sen\left(x\right)-\frac{x}{100}$debe valer 0. Tomando valores en los extremos de dichos intervalos:

$$f\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{100}=1-\frac{\pi +4k\pi }{200}$$

Esta cantidad es positiva para

$$1-\frac{\pi +4k\pi }{200}>0\Rightarrow 1>\frac{\pi +4k\pi }{200}\Rightarrow \frac{200-\pi }{4k}>\pi \Rightarrow 15.66>\pi$$

Por tanto si $k=0,\dots ,15,f\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)>0$

Además

$$f\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{3\pi }{2}+2k\pi }{100}=-1-\frac{3\pi +4k\pi }{200}$$

que es negativo si $k>0$. Por el teorema de Bolzno, existe una raíz en el intervalo $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right),k=0,\dots ,15$

Si k=16, $\frac{\frac{\pi }{2}+2\cdot 16\pi }{100}=1.02$, y por tanto $sen\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{100}<0$, por tanto para $k>15$, $f\left(x\right)<0$, y a partir de $100$ no puede haber mas raíces

Tomemos ahora los intervalos $\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right)$, donde $k>0$

$$f\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{3\pi }{2}+2k\pi }{100}=-1-\frac{3\pi +4k\pi }{200}<0$$

$$f\left(\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right)=sen\left(\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right)-\frac{\frac{5\pi }{2}+2k\pi }{100}=1-\frac{5\pi +4k\pi }{200}$$

Este último valor es positivo cuando

$$1-\frac{5\pi +4k\pi }{200}>0\Rightarrow 1>\frac{5\pi +4k\pi }{200}\Rightarrow \frac{200-5\pi }{4\pi }>k\Rightarrow k<14.6$$

Por el teorema de Bolzano, hay una raíz en el intervalo $\left(\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right),k=0,\dots ,14$

Hay $15+16$ raíces positivas. Habrá otras tantas negativas, porque la función es simétrica respecto del origen. Además $\left(0,0\right)$ también es solución.

En total $31+31+1=63$

Solución del problema 74

Enunciado del problema 74

Tomamos los puntos en que se anulan los valores absolutos y valoramos cada uno de ellos en los distintos intervalos

Función	- ∞		-1		0		1		2		+ ∞
|x+1|		-x-1		x+1		x+1		x+1		x+1
-|x|		x		x		-x		-x		-x
3|x-1|		-3x+3		-3x+3		-3x+3		3x-3		3x-3
-2|x-2|		2x-4		2x-4		2x-4		2x-4		-2x+4
Suma		-x-2		x		-x		5x-6		x+2

Igualando las sumas a $x+2$, solo puede ser $x\in \left[2,+\infty \right)$

Solución del problema 23

Enunciado del problema 23

Puesto que pasa por (0,2), entonces d=2

Puesto que pasa por (1,0) y (-1,0), sustituyendo en la ecuación

$\begin{array}{cc}a+b+c+2& =0\\ -a+b-c+2& =0\end{array}$

Es decir

$2b+4=0\Rightarrow b=-2$