Solución al problema 90

Enunciado del problema 90

$P\left(x\right)$será divisible por $x-1$ si $P\left(1\right)=0$.

Sea el polinomio $P\left(x\right)=a_{100}{x}^{100}+a_{99}{x}^{99}+\dots +a_{1}x+a_0$

$$p\left(1\right)=a_{100}+a_{99}+\dots +a_1+a_0$$

Como $\left|a_i\right|\le 50$ y deben ser todos distintos, puesto que hay $101$ valores enteros menores o iguales que $50$ en valor absoluto $\left(-50,-49,-48,\dots ,-1,0,1,\dots ,49,50\right)$, al sumarlos todos ellos, el resultado será, en algún orden, $-50-49-48-\dots -1+0+1+\dots +48+49+50=0$. Por tanto $P\left(1\right)=0$, y $P\left(x\right)$ será divisible por $x-1$