Solución al problema 92

Enunciado del problema 92

Como $6^2+8^2=10^2$, el triángulo ABC es rectángulo. Sea h la altura del lado BC, H el pie de la altura, y $m$ la longitud de la mediana, siendo $a$ la distancia entre H y M.

Como ABC es rectángulo, su área es $\frac{6\cdot 8}{2}=24$

Además

$$área\left[ABC\right]=\frac{BC\cdot h}{2}=\frac{10\cdot h}{2}=24\Rightarrow h=\frac{48}{10}=4.8$$

Como ABC es rectángulo, por el teorema de la altura

$$\begin{array}{ccc}{h}^2& =& BH\cdot HC\\ 4.8^2& =& \left(5-a\right)\left(5+a\right)\\ 4.8^2& =& 24-a^2\\ a^2& =& 25-4.8^2\end{array}$$

Además

$$\begin{array}{ccc}{m}^2& =& h^2+a^2\\ m^2& =& 4.8^2+\left(25-4.8^2\right)\\ m^2& =& 25\\ m& =& 5\end{array}$$

Por otra parte como el triángulo ABC es rectángulo, y AMF también. Como m=MC=5, el triángulo AMC es isósceles, y por tanto los ángulos FAM y MCA son iguales. Al tener dos ángulos iguales, los triángulos ABC y AMF son semejantes. En consecuencia

$$\begin{array}{ccc}MF& =& \frac{30}{8}=\frac{15}{4}\\ MD-MF& =& 5-\frac{15}{4}=\frac{5}{4}\\ Area\left[AFDE\right]& =& \frac{5+\frac{5}{4}}{2}\cdot 5=\frac{125}{8}\end{array}$$