Solución al problema 75

Enunciado del problema 75

Supondremos que $x,y,z$ pertenecen respectivamente a la 1ª, 2ª y 3ª bolsa. Como $x,y,z>0$, cada una de ellas debe valer al menos 1. Por tanto imaginemos un cubo de arista 1, donde $\left(x,y,z\right)$ son sus coordenadas en otro cubo de arista n.

El cubo grande representará el número de casos posibles ($n\cdot n\cdot n=n^3$), y se trata de encontrar el número de casos favorables, es decir el número de cubos cuyas coordenadas cumplan que $x+y=z$

Capa	coordenadas	Nº cubitos
$n$	$\left(n-1,1,n\right)\left(n-2,2,n\right)\dots (1,n-1,n$)	$n-1$
$n-1$	$\left(n-2,1,n-1\right)\left(n-3,2,n-1\right)\dots \left(1,n-2,n-1\right)$	$n-2$
$⋮$	$⋮$	$⋮$
$3$	$\left(2,1,3\right)\left(1,2,3\right)$	$2$
$$	$\left(1,1,2\right)$	$1$

En total

$$\left(n-1\right)+\left(n-2\right)+\dots +2+1=\frac{\left(n-1+1\right)\left(n-1\right)}{2}=\frac{n^2-n}{2}$$

y por tanto la probabilidad pedida es

$$p=\frac{\frac{n^2-n}{2}}{n^3}=\frac{n^2-n}{2n^3}=\frac{n-1}{2n^2}$$

Solución del problema 72

Enunciado del problema 72

Sean x e y los números entre 0 y 1. Las condiciones son

$\begin{array}{c}x<y^2\left(1\right)\\ y<x^2\left(2\right)\end{array}$

Representando gráficamente la parte (1) y (2) sobre un cuadrado de lado unidad, los casos favorables son aquellos que están en la zona de la trama

Como las dos partes de la trama son iguales:

$${\int }_0^1{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{3}$$

y por tanto la probabilidad pedida es

$$p=2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

Solución del problema 49

Enunciado del problema 49

Llamamos $X$ al suceso parar en el piso x, y $X\cap Y$ al suceso que el primer inquilino baje en el piso X, y el segundo en el piso Y.

Si $x,y$son distintos, $p\left(X\cap Y\right)=\frac{10}{70}\cdot \frac{10}{69}$

Si $x,y$ son iguales,$p\left(X\cap Y\right)=\frac{10}{70}\cdot \frac{9}{69}$

Por tanto la probabilidad pedida será

$$P=p\left(5\cap 1\right)+p\left(5\cap 2\right)+p\left(5\cap 3\right)+p\left(5\cap 4\right)+p\left(5\cap 5\right)+p\left(5\cap 6\right)+$$

$$+p\left(5\cap 7\right)+p\left(1\cap 5\right)+p\left(2\cap 5\right)+p\left(3\cap 5\right)+p\left(4\cap 5\right)+p\left(6\cap 5\right)+p\left(7\cap 5\right)=$$

$$=\frac{10}{70}\cdot \frac{10}{69}\cdot 12+\frac{10}{70}\cdot \frac{9}{69}\simeq 0.2671$$

Solución del problema 22

Enunciado del problema 22

En la primera vuelta la probabilidad de que Carlos gane es la de que pierdan Ana y Belinda y él gane, es decir:

$$P\left(Carlosgane\right)=\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{1}{6}$$

En la segunda vuelta, la de que pierda él en la primera y gane él en la segunda, y así sucesivamente:

$$P\left(Carlosgane\right)=\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{1}{6}+\mathrm{...}=$$

$$=\frac{1}{6}\left(\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}+{\left(\frac{3}{6}\right)}^2{\left(\frac{4}{6}\right)}^2\left(\frac{5}{6}\right)+{\left(\frac{3}{6}\right)}^3\cdot {\left(\frac{4}{6}\right)}^3\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^2+\mathrm{...}\right)=\frac{1}{6}S$$

Cálculo de $S$

$$S=\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}+{\left(\frac{3}{6}\right)}^2{\left(\frac{4}{6}\right)}^2\left(\frac{5}{6}\right)+{\left(\frac{3}{6}\right)}^3\cdot {\left(\frac{4}{6}\right)}^3\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^2+\mathrm{...}=$$

$$=\frac{3\cdot 4}{6^2}+\frac{5\cdot 3\cdot 4}{6^3}\cdot S\Rightarrow S=\frac{72+60\cdot S}{6^3}\Rightarrow S=\frac{6}{13}$$$$P\left(Carlosgane\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{6}{13}=\frac{1}{13}$$