Solución del problema 22

Enunciado del problema 22

En la primera vuelta la probabilidad de que Carlos gane es la de que pierdan Ana y Belinda y él gane, es decir:

$$P\left(Carlosgane\right)=\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{1}{6}$$

En la segunda vuelta, la de que pierda él en la primera y gane él en la segunda, y así sucesivamente:

$$P\left(Carlosgane\right)=\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{1}{6}+\mathrm{...}=$$

$$=\frac{1}{6}\left(\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}+{\left(\frac{3}{6}\right)}^2{\left(\frac{4}{6}\right)}^2\left(\frac{5}{6}\right)+{\left(\frac{3}{6}\right)}^3\cdot {\left(\frac{4}{6}\right)}^3\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^2+\mathrm{...}\right)=\frac{1}{6}S$$

Cálculo de $S$

$$S=\frac{3}{6}\cdot \frac{4}{6}+{\left(\frac{3}{6}\right)}^2{\left(\frac{4}{6}\right)}^2\left(\frac{5}{6}\right)+{\left(\frac{3}{6}\right)}^3\cdot {\left(\frac{4}{6}\right)}^3\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^2+\mathrm{...}=$$

$$=\frac{3\cdot 4}{6^2}+\frac{5\cdot 3\cdot 4}{6^3}\cdot S\Rightarrow S=\frac{72+60\cdot S}{6^3}\Rightarrow S=\frac{6}{13}$$$$P\left(Carlosgane\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{6}{13}=\frac{1}{13}$$