Solución del problema 29

Enunciado del problema 29

Operando y haciendo $t=2^{co{s}^{2}x}$

$$\begin{array}{ccc}{2}^{se{n}^{2}x}+2^{co{s}^{2}x}& =& 2\sqrt{2}\\ 2^{1-co{s}^{2}x}+2^{co{s}^{2}x}& =& 2\sqrt{2}\\ \frac{2}{2^{co{s}^{2}x}}+2^{co{s}^{2}x}& =& 2\sqrt{2}\\ \frac{2}{t}+t& =& 2\sqrt{2}\\ t^2-2\sqrt{2}t+2& =& 0\Rightarrow t=\sqrt{2}\end{array}$$

Si $t=\sqrt{2}$

$$2^{co{s}^{2}x}=2^{\frac{1}{2}}\Rightarrow co{s}^{2}x=\frac{1}{2}\Rightarrow cosx=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=45º+45ºk,k\in Z$$

Haciendo $45+45k=2013\Rightarrow 45k=1968\Rightarrow k=43.7$

Luego las soluciones por defecto y por exceso serán para $k=44$ y $k=43$

$$\begin{array}{ccc}45+45\cdot 44& =& 2025\\ 45+45\cdot 43& =& 1980\end{array}$$