Solución del problema 28

Enunciado del problema 28

Si llamamos $a,b,c$ a las raíces del polinomio resulta:

$$\begin{array}{ccc}a+b+c& =& -2\\ ab+ac+bc& =& +3\\ abc& =& -4\end{array}$$

$$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)$$

Despejando

$$a^2+b^2+c^2=(a+b+c{)}^2-2(ab+ac+bc)=(-2{)}^2-2\left(3\right)=4-6=-2$$

Además

$$\begin{array}{ccc}(a+b+c{)}^3& =& \left(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\right)\left(a+b+c\right)=\end{array}$$

$$=a^3+a{b}^2+a{c}^2+a^{2}b+b^3+b{c}^2+a^{2}c+b^{2}c+c^3+2\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)=$$

$$a^3+b^3+c^3+a{b}^2+a{c}^2+a^{2}b+b{c}^2+a^{2}c+b^{2}c+2\left(3\right)\left(-2\right)=(*)$$

Como

$$2\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)=a^{2}b+a^{2}c+abc+a{b}^2+abc+b^{2}c+abc+a{c}^2+b{c}^2=$$

$$=a^{2}b+a^{2}c+a{b}^2+b^{2}c+a{c}^2+b{c}^2+3abc$$

Despejando y sustituyendo en (*)

$$(*)=a^3+b^3+c^3+\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)-3abc-12$$

Despejando

$$a^3+b^3+c^3=(a+b+c{)}^3-(ab+ac+bc\left)\right(a+b+c)+3abc+12=$$

$$=(-2{)}^3-(3\left)\right(-2)+3(-4)+12=-2$$

Por tanto

$$a^3+b^3+c^3=a^2+b^2+c^2=a+b+c=-2$$