Euler y pi^2/6 (1/2)

Porqué Euler dedujo que ${\sum }_{i=1}^{\infty }\frac{1}{i^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$

No se trata de dar una demostración rigurosa, sino simplemente de ver el genio de la demostración

1ª demostración.

Primero se toma un polinomio (¡considerado infinito!)

$$P\left(x\right)=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}+\dots$$

donde $P\left(0\right)=1$

Como

$$P\left(x\right)=x\left[\frac{1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\dots }{x}\right]=\frac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots }{x}=\frac{sen\left(x\right)}{x}$$

Si $P\left(x\right)=0$ entonces $sen\left(x\right)=0$, y sus infinitas raíces (?) son $x=\pm k\pi$, para $k=1,2,3,\dots$

Ahora factoricemos $P\left(x\right)$ (¡¡!!)

$$P\left(x\right)=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}+\dots$$

$$\left(1-\frac{x}{\pi }\right)\left(1-\frac{x}{-\pi }\right)\left(1-\frac{x}{2\pi }\right)\left(1-\frac{x}{-2\pi }\right)\left(1-\frac{x}{3\pi }\right)\left(1-\frac{x}{-3\pi }\right)\dots =$$

$$\left(1-\frac{x^2}{{\pi }^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4{\pi }^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{{9\pi }^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{{16\pi }^2}\right)\dots$$

Es decir que escribió $P\left(x\right)$ de dos formas distintas, lo cual le permitió igualar los coeficientes resultantes de cada una de las descomposiciones.

Por tanto, haciendo el producto infinito e igualando

$$1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}+\dots =1-\left(\frac{1}{{\pi }^2}+\frac{1}{4{\pi }^2}+\frac{1}{9{\pi }^2}+\frac{1}{16{\pi }^2}+\dots \right)x^2+\dots$$

Igualando los coeficientes en $x^2$, resulta genialmente

$$-\frac{1}{3!}=-\left(\frac{1}{{\pi }^2}+\frac{1}{4{\pi }^2}+\frac{1}{9{\pi }^2}+\frac{1}{16{\pi }^2}+\dots \right)=-\frac{1}{{\pi }^2}\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\dots \right)$$

Y por tanto

$$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\dots =\frac{{\pi }^2}{6}$$

Una demostración de infarto.