Solución del problema 27

Enunciado del problema 27

Como el ángulo $\widehat{TOC}=\widehat{COP}=\alpha \Rightarrow \widehat{TOP}=2\alpha$

Por tanto la pendiente de la recta OM será

$$tan2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1-{tan}^2\alpha }=\frac{\frac{2a}{t}}{1-\frac{a^2}{t^2}}=\frac{2at}{t^2-a^2}$$

La ecuación de la recta OM es $y=\frac{2at}{t^2-a^2}x$ para cada t (a es constante)

Cortándola con la recta $x=t$ nos da como coordenada de $M=\left(t,\frac{2a{t}^2}{t^2-a^2}\right)$

Luego la ecuación del lugar geométrico es

$$y=\frac{2a{x}^2}{x^2-a^2}$$

cuya gráfica aproximada es