Solución del problema 30

Enunciado del problema 30

Tenemos que $(x_1-b{)}^2+y_1^2=b^2$

El punto N será

$$N\left(\frac{a^2}{x_1},\frac{a{y}_1}{x_1}\right)$$

Sea

$$.\begin{array}{c}x=\frac{a^2}{x_1}\\ y=\frac{a{y}_1}{x_1}\end{array}\}\Rightarrow x_1=\frac{a^2}{x}\Rightarrow y=\frac{a{y}_1}{\frac{a^2}{x}}=\frac{y_{1}x}{a}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_1=\frac{a^2}{x}\\ y_1=\frac{ay}{x}\end{array}.$$

Como $x_1^2-2b{x}_1+y_1^2=0$, sustituyendo

$$\begin{array}{ccc}{\left(\frac{a^2}{x}\right)}^2-2b\frac{a^2}{x}+\frac{a^2{y}^2}{x^2}& =& 0\\ \frac{a^4}{x^2}-\frac{2b{a}^2}{x}+\frac{a^2{y}^2}{x^2}& =& 0\\ a^4-2b{a}^{2}x+a^2{y}^2& =& 0\\ a^2-2bx+y^2& =& 0\\ y^2+a^2& =& 2bx\\ y^2-\left(-a^2\right)& =& 2bx\end{array}$$

Esto es una parábola de vértice el punto $x=\frac{a^2}{2b}$