Solución al problema 75

Enunciado del problema 75

Supondremos que $x,y,z$ pertenecen respectivamente a la 1ª, 2ª y 3ª bolsa. Como $x,y,z>0$, cada una de ellas debe valer al menos 1. Por tanto imaginemos un cubo de arista 1, donde $\left(x,y,z\right)$ son sus coordenadas en otro cubo de arista n.

El cubo grande representará el número de casos posibles ($n\cdot n\cdot n=n^3$), y se trata de encontrar el número de casos favorables, es decir el número de cubos cuyas coordenadas cumplan que $x+y=z$

Capa	coordenadas	Nº cubitos
$n$	$\left(n-1,1,n\right)\left(n-2,2,n\right)\dots (1,n-1,n$)	$n-1$
$n-1$	$\left(n-2,1,n-1\right)\left(n-3,2,n-1\right)\dots \left(1,n-2,n-1\right)$	$n-2$
$⋮$	$⋮$	$⋮$
$3$	$\left(2,1,3\right)\left(1,2,3\right)$	$2$
$$	$\left(1,1,2\right)$	$1$

En total

$$\left(n-1\right)+\left(n-2\right)+\dots +2+1=\frac{\left(n-1+1\right)\left(n-1\right)}{2}=\frac{n^2-n}{2}$$

y por tanto la probabilidad pedida es

$$p=\frac{\frac{n^2-n}{2}}{n^3}=\frac{n^2-n}{2n^3}=\frac{n-1}{2n^2}$$