Solución 2 al problema 73

Enunciado del problema 73

Podemos suponer sin pérdida de generalidad que la circunferencia está centrada en el origen, de radio r y las rectas tangentes son paralelas al eje OX.

Sean las rectas $y=r;y=-r$ y la circunferencia $x^2+y^2=r^2$. Sea $\left(x_{0,}{y}_0\right)$ un punto de la circunferencia, y que verifica $x_0^2+y_0^2=r^2$.La recta tangente a la circunferencia en este punto será $y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}(x-x_{0)}$. Cortando con cada una de las rectas paralelas nos queda:

$$r-y_o=-\frac{x_0}{y_0}\left(x-x_0\right)\Rightarrow x=\frac{r^2-y_{0}r}{x_0}$$

$$-r-y_o=-\frac{x_0}{y_0}\left(x-x_0\right)\Rightarrow x=\frac{r^2+y_{0}r}{x_0}$$

Los puntos $A$ y $B$ tienen por coordenadas

$$A=\left(\frac{r^2-y_{0}r}{x_0},r\right)$$

$$B=\left(\frac{r^2+y_{0}r}{x_0},-r\right)$$

Haciendo el producto escalar de los vectores $OA$ y $OB$, se comprueba que vale $0$, y por tanto son perpendiculares

$$OA\cdot OB=\frac{r^2-y_{0}r}{x_0}\cdot \frac{r^2+y_{0}r}{x_0}-r^2=\frac{r^4-y_0^2{r}^2}{x_0^2}-r^2=$$

$$\frac{r^2\left(r^2-y_0^2\right)}{x_0^2}-r^2=\frac{r^2{x}_0^2}{x_0^2}-r^2=0$$