Solución al problema 57

Enunciado del problema 57

Llamando R al radio de la circunferencia mayor y r al radio de la circunferencia menor

$$\begin{array}{ccc}(a+R{)}^2& =& (a-R{)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2\\ a^2+2aR+R^2& =& a^2-2aR+R^2+\frac{a^2}{4}\\ 4aR& =& \frac{a^2}{4}\\ R& =& \frac{a}{16}\end{array}$$

En la circunferencia mayor

$$\begin{array}{ccc}(a-r{)}^2& =& {\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}+r\right)}^2\\ a^2-2ar+r^2& =& \frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+\frac{2ar}{2}+r^2\\ a^2-2ar& =& \frac{2a^2}{4}+ar\\ a^2-\frac{a^2}{2}& =& 3ar\\ \frac{a^2}{2}& =& 3ar\\ r& =& \frac{a}{6}\end{array}$$