Solución al problema 113

Enunciado del problema 113

Sean los números $ab$ y $cd$ con $a>b$

Entonces

$$ba\cdot cd+3816=ab\cdot cd$$

Dividiendo por $cd$, $ba+\frac{3816}{cd}=ab$. Esto quiere decir que cd es un divisor de $3816$, de dos cifras

Los divisores de $3816$ de dos cifras son $12,24,18,36,72$ y $53$.

Además si $cd$ es uno de esos números

$$ba+\frac{3816}{cd}=ab\Rightarrow ab-ba=\frac{3816}{cd}$$

Poniendo $ab=10+b$ y $ba=10b+a$

$$10a+b-10b-a=10\left(a-b\right)-\left(a-b\right)=9\left(a-b\right)$$

Luego $\frac{3816}{cd}$ debe ser un núltiplo de 9.

Probando los distintos números, el resultado de $\frac{3816}{cd}$ solo puede ser $18,72$ o $36$.

Pero $\frac{3816}{18}=212$ y $\frac{3816}{36}=106$ que son de tres cifras, luego $\frac{3816}{72}=53=cd$. Es decir que $9\left(a-b\right)=53\Rightarrow a-b=8$. Como suponemos que $ba$ es de dos cifras, $b>0$, luego solo puede ser $b=1$ y $a=9$, porque tanto $a$ como $b$ son de una sola cifra.

En resumen $ab=91$, y el resultado correcto es $ba\cdot cd=19\cdot 53=1007$