Solución al problema 112

Enunciado del problema 112

Sea $c$=altura de la nieve cuando a las $12$ horas, y $a$=altura de la nieve por hora

$h\left(t\right)=c+at$ es la función que nos indica la altura de nieve por hora

Si $0=c+at\Rightarrow t=-\frac{c}{a}$

Luego empieza a nevar a las $12-\frac{c}{a}$

La velocidad a la que va la máquina es inversamente proporcial a la altura de la nieve por tanto vale $v\left(t\right)=\frac{b}{c+at}$

Con los datos que tenemos

$${\int }_0^1\frac{b}{c+at}dt=2\Rightarrow {\left[\frac{b}{a}ln\left(c+at\right)\right]}_0^{{}^1}=2\Rightarrow \frac{b}{a}ln\left(\frac{c+a}{a}\right)=2$$

$${\int }_0^2\frac{b}{c+at}dt=3\Rightarrow {\left[\frac{b}{a}ln\left(c+at\right)\right]}_0^{{}^2}=3\Rightarrow \frac{b}{a}ln\left(\frac{c+2a}{a}\right)=3$$

Dividiendo ambas expresiones

$$\frac{\frac{b}{a}ln\left(\frac{c+a}{c}\right)}{\frac{b}{a}ln\left(\frac{c+2a}{c}\right)}=\frac{2}{3}\Rightarrow 3ln\left(\frac{c+a}{a}\right)=2ln\left(\frac{c+2a}{a}\right)\Rightarrow {\left(\frac{c+a}{a}\right)}^2={\left(\frac{c+2a}{a}\right)}^3$$

Haciendo $\frac{a}{c}=m$

$$\begin{array}{ccc}(1+m{)}^3& =& (1+2m{)}^2\\ 1+3m+3m^2+m^3& =& 1+4m+4m^2\\ m^3-m^2-m& =& 0\\ m\left(m^2-m-1\right)& =& 0\\ m^2-m-1& =& 0\\ m& =& \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\end{array}$$

En nuestro caso solo es posible $m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$(la razón áurea)

Por tanto $\frac{c}{a}=\frac{1}{m}=0.618$ que pasando a horas minutos y segundos es 37m 5s

Luego comienza a nevar a las 11 horas 22 minutos 55 segundos