Solución al problema 145

Enunciado del problema 145

$2010^{10}=(201\cdot 10{)}^{10}=201^{10}\cdot 10^{10}$

$201^{10}=(200+1{)}^{10}=(2\cdot 10^2{)}^{10}+10\cdot (2\cdot 10^2{)}^9+\dots +10\cdot 2\cdot 10^2+1=$

$2^{10}\cdot 10^{20}+2^9\cdot 10^{19}+\dots +1=1024\cdot 10^{20}+512\cdot 10^{19}+\dots +1$

El primer término de esta suma tiene claramente 24 cifras, el segundo 22 cifras, el tercero 21 cifras, y después cada vez menos, hasta tener solo una. Por tanto el número $201^{10}$ tendrá 24 cifras. Añadiendo la cifras de $10^{10}$, resultan un total del 34 cifras para $2010^{10}$ .