Solución al problema 143

Enunciado del problema 143

Planteamiento:

Para cada calle vamos a calcular el segmento de la recta tangente que va desde la línea mas interior de la calle hasta el punto de tangencia al círculo mas interior de la pista (calle 1). La diferencia entre dicho punto de tangencia $\left(P_i\right)$ y el punto de tangencia de la calle 8 con el círculo más interior se supone recorrido por la circunferencia interior.

Sea $R$ el radio de la circunferenica interior, L el ancho de cada calle. Sean $A_i{P}_i=l_i$ el segmento de la tangente que va desde la circunferencia interior de la calle $i$ ,$\left(A_i\right)$hasta el punto de tangencia con la circunferencia interior $\left(P_i\right)$.

Como el triángulo $A_i{P}_{i}C$ es rectángulo, por ser $A_i{P}_i$ tangente a la circunferencia

$l_i^2=(R+(i-1)L{)}^2-R^2$, y en particular $l_8^2=(R+7L{)}^2-R^2$. Además $l_1=0$ porque el punto $A_1$ está en la circunferencia misma.

Si ${\alpha }_i$ es el ángulo que forma la recta $C{A}_i$ con $C{P}_i$:

${\alpha }_i=arccos\left(\frac{R}{R+\left(i-1\right)L}\right)$ y llamamos $\alpha ={\alpha }_8=arccos\left(\frac{R}{R+7L}\right)$

Si $d_i$ es la distancia entre $P_i$ y $P_8$ medida sobre la circunferencia, dicha distancia será

$d_i=R\left(\alpha -{\alpha }_i\right)$

y la distancia total recorrida por cada corredor de la calle $i$ será $l_i+d_i$

Veamos un caso particalar de aplicación de las fórmulas anteriores en una pista de 8 calles, donde $R=36.5m$ y la anchura de cada calle es $L=1.25$.

En tal caso $\alpha ={\alpha }_8=0.63236853$.

$R$	$L$	$i$	$l_i$	${\alpha }_i$	$\alpha -{\alpha }_i$	$d_i$	$l_i+d_i$
$36.5$	$1.25$	$1$	$0$	$0.632368533$	$0.632368533$	$23.08$	$23.08$
$36.5$	$1.25$	$2$	$9.63$	$0.25805796$	$0.374310577$	$13.66$	$23.30$
$36.5$	$1.25$	$3$	$13.74$	$0.35999826$	$0.272370271$	$9.94$	$23.68$
$36.5$	$1.25$	$4$	$16.97$	$0.43508956$	$0.197278975$	$7.20$	$24.17$
$36.5$	$1.25$	$5$	$19.75$	$0.49594782$	$0.136420718$	$4.98$	$24.73$
$36.5$	$1.25$	$6$	$22.26$	$0.54755264$	$0.084815889$	$3.10$	$25.35$
$36.5$	$1.25$	$7$	$24.57$	$0.59250309$	$0.039865441$	$1.46$	$26.03$
$36.5$	$1.25$	$8$	$26.75$	$0.63236853$	$0$	$0$	$26.75$