Solución 2 al problema 142

Enunciado del problema 142

Demostraremos por inducción estas dos proposiciones:

1) En la sucesión $a_n$, si $n$ es par $a_n=n$

2) En la sucesión $a_n$, si $n$ es impar, $a_n=4-n$

Demostración de la primera proposición

Supongamos que $n$ es impar

1º) Para los primeros casos: $a_1=1;a_3=3;a_5=5$

2º)Supongamos que $n$ es impar y $a_m=m$, para todo $m<n$, con $m$ impar

Vamos a demostrarlo para el caso $n$:

Si $n$ es impar, también lo son $n-2$ y $n-4$, por tanto $a_{n-2}=n-2$ y $a_{m-4}=n-4$

Entonces

$a_n=a_{n-3}+a_{n-2}-a_{n-1}=a_{n-3}+n-2-a_{n-1}$(1)

Además

$a_{n-1}=a_{n-4}+a_{n-3}-a_{n-2}=n-4+a_{n-3}-\left(n-2\right)=$

$n-4+a_{n-3}-n+2=a_{n-3}-2$

Sustituyendo en (1)

$a_n=a_{n-3}+n-2-\left(a_{n-3}-2\right)=a_{n-3}+n-2-a_{n-3}+2=n$

Demostración de la segunda proposición

Supongamos que $n$ es par

1º) Para los primeros casos $a_2=4-2=2;a_4=4-4=0$, que coincide con el valor de los primeros términos de la sucesión.

2º) Supongamos que $n$ es par y $a_m=4-m$, para todo $m<n$, con $m$ par

Si $n$ es par, también lo son $n-2$ y $n-4$, por tanto $a_{n-2}=4-\left(n-2\right)=6-n$ y $a_{n-4}=4-\left(n-4\right)=8-n$

Entonces

$a_n=a_{n-3}+a_{n-2}-a_{n-1}=a_{n-3}+6-n-a_{n-1}$(2)

Además

$a_{n-1}=a_{n-4}+a_{n-3}-a_{n-2}=8-n+a_{n-3}-\left(6-n\right)=2+a_{n-3}$

Sustituyendo en (2)

$a_n=a_{n-3}+6-n-\left(2+a_{n-3}\right)=a_{n-3}+6-n-2-a_{n-3}=4-n$

Por tanto $a_{2010}=2-2010=-2006$