Solución 3 al problema 142

Enunciado del problema 142

Tenemos que $a_{n+3}=a_n+a_{n+1}-a_{n+2}\Rightarrow a_{n+3}+a_{n+2}-a_{n+1}-a_n=0$

Sustituyendo por el operador $\nabla$:

$\left({\nabla }^3+{\nabla }^2-\nabla -1\right)a_n=0$

Resolviendo la ecuación asociada

$x^3+x^2-x-x=\left(x-1\right)\cdot (x+1{)}^2$

Por la teoría de las diferencias finitas, si ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ son las raíces de la ecuación asociada, el término general $a_n$ es de la forma:

$a_n=A_1{\alpha }_1^n+A_2{\alpha }_2^n+\dots +A_n{\alpha }_n^n$, donde se ha de poner $n{A}_i$ si alguna de las ${\alpha }_i$ es doble.

En este caso

$a_n=A{1}^n+B(-1{)}^n+Cn(-1{)}^n$

Como sabemos que $a_1=1;a_2=2$ y $a_3=3$, resulta

$\{\begin{array}{c}1=A-B-C\\ 2=A+B+2C\\ 3=A-B-3C\end{array}.$

que tiene por soluciones $A=2;B=2$ y $C=-1$

Por tanto $a_n=2+(-1{)}^n(2-n)$

Si $n$ es impar $a_n=2-\left(2-n\right)=n$, y si $n$ es par $a_n=2+\left(2-n\right)=4-n$

En conclusión $a_{2010}=2+\left(2-2010\right)=-2006$