Solución problema 69

Enunciado del problema 69

Calculemos cuanto vale $a^4$. Tomemos solo la terminación de a, según las cifras 0,...,9.

Anotamos la última cifra de cada potencia

$a$	$a^2$	$a^3$	$a^4$
1	1	1	1
2	4	8	6
3	9	7	1
4	6	4	6
5	5	5	5
6	6	6	6
7	9	3	1
8	4	2	6
9	1	9	1
0	0	0	0

La potencia $a^4$,es de tipo $5k$ (terminará en 0) o $5k+1$(terminará en 1)

En base 5, un número termina en 4 ceros cuando es del tipo $m0000=0+0\cdot 5+0\cdot 5^2+0\cdot 5^3+m\cdot 5^4=625k$, es decir los múltiplos de 625

a) Supongamos que termina en 0

Si $a=10k\Rightarrow a^4=10000k^4$. Termina en 4 ceros, y por tanto es múltiplo de 625

Si $a=10k+5$

$$a^4=(10k+5{)}^4=10000k^4+4(10k{)}^3\cdot 5+6(10k{)}^2\cdot 5^2+6\cdot 10k\cdot 5^3+5^4=$$

$$=10000k^4+20000k^3+15000k^2+7500k+625$$

Esta última expresión es múltiplo de 625

Por tanto en ambos casos, en base 5 se escribe con 4 ceros.

Es decir que cualquier número natural elevado a la cuarta, en base cinco temina en 1, o en cuatro ceros.