Solución al problema 85

Enunciado del problema 85

Sea

$$\underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=a$$

Entonces

$$\begin{array}{ccc}a& =& \sqrt{k+a}\\ a^2& =& k+a\\ a^2-a-k& =& 0\\ a& =& \frac{1\pm \sqrt{1+4k}}{2}\end{array}$$

Como $k>0$, $\sqrt{1+4k}>1$, luego solo es posible la solución positiva puesto que todos los términos son positivos y $a_n>a_{n-1}$

$$a=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}$$