Solución al problema 83

Enunciado del problema 83

Supongamos que a es el número de veces que se encuentran uno rojo y uno verde, para convertirse ambos en amarillo. Cada vez que ocurre esto, la población de los rojos y de los verdes disminuye en uno, y la de los amarillos aumenta en dos. Por tanto si las poblaciones R(13), V(15) y A(17), después de a contactos entre rojos y verdes será R(13-a), V(15-a), A(17+2a).

Si llamamos b al número de contactos entre rojos y amarillos para convertirse en verdes, y c al número de contactos entre verdes y amarillos para convertirse en rojos, tenemos;

Nº de contactos	Rojos	Verdes	Amarillos
$0$	$13$	$15$	$17$
$a$	$13-a$	$15-a$	$17+2a$
$ayb$	$13-a-b$	$15-a+2b$	$17+2a-b$
$abyc$	$13-a-b+2c$	$15-a+2b-c$	$17+2a-b-c$

Estudiaremos tres posibilidades

a) Todos se convierten en amarillos

$$\begin{array}{ccc}13-a-b+2c& =& 0\\ 15-a+2b-c& =& 0\\ 17+2a-b-c& =& 45\end{array}$$

Resolviendo esta ecuación

$$\begin{array}{ccc}a+b-2c& =& 13\\ -a+2b-c& =& -15\\ 3b-3c& =& -2\\ 3\left(b-c\right)& =& -2\end{array}$$

Lo que es imposible. Por tanto nunca podrá una población solo de amarillos.

b) Todos se convierten en verdes

$$\begin{array}{ccc}13-a-b+2c& =& 0\\ 15-a+2b-c& =& 45\\ 17+2a-b-c& =& 0\end{array}$$

Resolviendo esta ecuación

$$\begin{array}{ccc}-a-b+2c& =& -13\\ a-2b+c& =& -30\\ -3b+3c& =& -43\\ 3\left(c-b\right)& =& -43\end{array}$$

Como 43 no es mútimplo de 3, es imposible.

c) Todos se convierten en rojos

$$\begin{array}{ccc}13-a-b+2c& =& 45\\ 15-a+2b-c& =& 0\\ 17-2a-b-c& =& 0\\ -a-b+2c& =& 32\\ -3b+3c& =& 47\end{array}$$

Como 47 no es múltiplo de 3, tampoco es posible.

La situación no se puede dar.